Как не ошибаться. Сила математического мышления
Джордан Элленберг
По мнению профессора Элленберга, математика – это наука о том, как не ошибаться, и она очень сильно влияет на нашу жизнь, несмотря на то что мы этого не осознаем. Вооружившись силой математического мышления, можно понять истинное значение информации, считавшейся верной по умолчанию, чтобы критически осмысливать все происходящее.
Книга будет полезна не только тем, кто увлечен математикой, но и тем, кто ошибочно считает, что им эта наука в жизни не пригодится.
На русском языке публикуется впервые.
Джордан Элленберг
Как не ошибаться. Сила математического мышления
Библиотека фонда «Эволюция»
Научный редактор Михаил Гельфанд
Издано с разрешения Jordan Ellenberg с/о William Morris Endeavor Entertainment, LLC и литературного агентства Andrew Nurnberg
Книга рекомендована к изданию Нелли Камаевой и Константином Дудкиным
Все права защищены.
Никакая часть настоящего издания ни в каких целях не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то электронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель, если на это нет письменного разрешения издателя.
© Jordan Ellenberg, 2014
© Перевод на русский язык, издание на русском языке, оформление. ООО «Манн, Иванов и Фербер», 2018
* * *
О фонде «Эволюция»
Просветительский фонд «Эволюция» основан в 2015 году сообществом российских просветителей. Цель фонда – популяризация научного мировоззрения, продвижение здравомыслия и гуманистических ценностей, развитие науки и образования.
Одно из направлений работы фонда – поддержка издания научно-популярных книг. Каждая книга, выпущенная при содействии фонда «Эволюция», тщательно отбирается серьезными учеными. Критерии отбора – научность содержания, увлекательность формы и значимость для общества. Фонд сопровождает весь процесс создания книги – от выбора до выхода из печати. Поэтому каждое издание библиотеки фонда – праздник для любителей научно-популярной литературы.
Больше о работе просветительского фонда «Эволюция» можно узнать по адресу www.evolutionfund.ru (http://www.evolutionfund.ru/)
Посвящается Тане
Лучшее в математике не просто заслуживает изучения в качестве одной из задач, а должно стать неотъемлемой частью повседневного мышления, к которой разум обращается всякий раз со все большим воодушевлением.
БЕРТРАН РАССЕЛ «Изучение математики», 1902 год[1 - Russell Bertrand. The Study of Mathematics // Mysticism and Logic: And Other Essays. Longman, 1919. P. 60. Прим. М. Г.Здесь и далее все постраничные сноски даются в квадратных скобках. Примечания, написанные научным редактором, даны с пометой М. Г.; примечания, сделанные редактором, – с пометой ред.; авторские примечания – без какой-либо пометы.]
Предисловие научного редактора
Из-за неосторожного движения развалилась стопка книг и журналов. Наверху образовавшейся кучи случайно оказалась книга Элленберга, и рабочий день оказался безнадежно испорчен, как и множество дней до того, потому что, раскрыв эту книгу на произвольном месте, невозможно оторваться, даже если ты внимательно прочитал ее уже три раза: когда решал, принять ли к переводу и изданию; когда делал примечания научного редактора; когда правил верстку (и, да, делал дополнительные примечания научного редактора). И еще потому, что это очень хорошая, правильная и нужная книга. Ее можно читать как хорошую беллетристику (как заметил сам автор, история о том, как студенты МТИ систематически выигрывали в лотерее штата Массачусетс, достойна экранизации), а можно внимательно следить за всеми выкладками. Да, в книге есть формулы, и это не страшно!
Во всех школьных кабинетах математики висят плакаты со словами Михаила Васильевича Ломоносова: «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит». Книга Джордана Элленберга делает именно это – приводит ум в порядок. В предисловии автор обещает, что будет рассматривать простые, но при этом глубокие проблемы, и блистательно выполняет свое обещание.
Практически на пальцах, используя простые рисунки, автор не только объясняет важные математические понятия, но тут же показывает, почему и как их необходимо использовать в повседневных рассуждениях об экономике, социальных отношениях и других сторонах жизни общества. Он наглядно демонстрирует опасности бездумной статистики, экстраполяции за пределы допустимого, упрощенного линейного мышления, заодно разъясняя множество идей из математического анализа, теории вероятностей, статистики и теории кодирования.
Вот простой пример. Всем ясно, что игрок в баскетбол хорошо пробивает штрафные, если доля попаданий у него велика. Давайте возьмем результаты какого-нибудь чемпионата, ранжируем баскетболистов по этой доле, и – лидером списка станет никому не известный игрок, однажды вышедший на замену и удачно совершивший свою единственную попытку: 1 из 1 – это 100 %, больше не бывает (кстати, ранжировать по сумме тоже не стоит: тогда, наоборот, преимущество получат те, кто сделал много бросков, даже если в среднем они были не очень удачны). Если кому-то этот пример кажется не слишком важным, заменим игроков на школы, а удачные броски на выпускников, поступивших в хорошие университеты.
Автор приводит примеры из газетных статей, в которых неаккуратное использование математических понятий, даже самых простых, таких как проценты, приводит людей к дурацким выводам, и наглядно показывает, как этого следовало избежать. Особенно подробно он обсуждает такие тонкие проблемы, как множественное тестирование (необходимость учитывать количество сделанных попыток при оценке значимости желаемого результата), избирательные отчеты (результаты удавшихся опытов, например клинических испытаний, публикуются, а неудавшихся – нет, что искажает общую картину) и различные парадоксы, связанные с голосованием.
Нам, переводчику и двум редакторам, литературному и научному, было одновременно легко и сложно работать над переводом. Книга хорошо написана, и мы очень старались не испортить этого впечатления при переводе. Сложность была в том, что мы хотели, чтобы русскоязычный читатель воспринимал текст так же, как англоязычный – и не просто свободно читающий на английском языке, но с ходу понимающий отсылки к очевидным для жителей США реалиям. Этого почти невозможно было добиться; верно и то, что любой перевод – это трудный компромисс между содержательностью, верностью оригиналу и сохранением авторского стиля. Здесь мы пошли по очевидному пути многочисленных комментариев; на это было проще решиться, потому что автор и сам был не прочь прокомментировать собственный текст. В единичных случаях, когда это позволяло сохранить стиль без ущерба для содержания, мы подставляли российские реалии на место американских – все такие случаи помечены в подстрочных примечаниях. В ряде мест мы решились также добавить дополнительные заметки, надеемся, это не нарушило стиль автора.
Повторю: это очень важная и нужная книга. Прочитав ее, человек приобретает не только привычку к логическому мышлению, но иммунитет к внешне внушительной демагогии, основанной на жонглировании числами. По словам Роджера Бэкона, «человек, не знающий математики, не способен ни к каким другим наукам. Более того, он даже не способен оценить уровень своего невежества, а потому не ищет от него лекарства». Последнее особенно важно, и книга Джордана Элленберга – замечательный образец лекарства, которое так нам необходимо.
Михаил Гельфанд,
доктор биологических наук, профессор,
член Academia Europaea
Пролог. А мне это пригодится?
Сейчас, в эту самую минуту, где-то в мире какая-нибудь студентка пререкается со своим преподавателем математики, вручившим ей список из тридцати определенных интегралов, на вычисление которых уйдет немалая часть ее драгоценных выходных.
На свете так много всего, чем она хотела бы заниматься. В принципе нет такого дела, за которое она не была бы готова взяться – практически за любое, но только не за решение интегралов. Это абсолютно точно, поскольку на прошлой неделе ей уже пришлось в свои выходные потратить уйму времени на почти такие же тридцать определенных интегралов. В подобном времяпровождении она не видит никакого смысла, о чем заявляет вслух. В их непростой беседе наступает тот самый момент, когда наша студентка собирается задать вопрос, которого любой преподаватель боится больше всего: И когда же мне это пригодится?
По всей вероятности, учитель математики ответит так: «Понимаю, сейчас это занятие кажется вам бессмысленным. Но имейте в виду следующее: вы еще не знаете, чем будете заниматься завтра; сегодня вы не находите никакой связи между интегралами и своим будущим, но вы можете выбрать такую профессию, в которой будет чрезвычайно важно уметь быстро и правильно вычислять определенные интегралы вручную».
Вряд ли подобный ответ удовлетворит студентку, поскольку он лживый. Что понимают и преподаватель и ученик. Количество взрослых людей, которым когда-либо пригодится интеграл (1–3x + 4x
)
dx, или формула косинуса 3?, или синтетическое деление многочленов, можно сосчитать на нескольких тысячах рук.
Эта ложь не доставляет особого удовольствия и учителю. Мне ли не знать: за многие годы преподавания математики я давал сотням студентов задание вычислять целые списки определенных интегралов.
К счастью, есть и более подходящее объяснение. Я постараюсь его для вас сформулировать.
«Математика – не просто последовательность вычислений, которые необходимо выполнять механически до тех пор, пока у вас не закончится терпение и выдержка – хотя эта мысль может показаться весьма далекой от того, чему вас учили на курсах, именуемых “математика”. В математике интегралы играют ту же роль, что силовые тренировки и физическая подготовка в футболе. Если вы хотите научиться играть в футбол – а я имею в виду играть по-настоящему, – вам предстоит выполнить множество скучных, однообразных, на первый взгляд бессмысленных упражнений. Используют ли когда-либо эти упражнения профессиональные игроки? На поле никто не поднимает штангу и не бегает зигзагами между конусами. Но все-таки футболисты используют ту силу, скорость, понимание сути игры и гибкость, которую они обрели в процессе выполнения – неделя за неделей – множества утомительных упражнений. Отработка таких упражнений – неотъемлемая часть обучения игре в футбол.
Если вы хотите зарабатывать игрой в футбол на жизнь или даже стать членом университетской команды, вам предстоит провести много скучных выходных на тренировочном поле. Другого пути нет. Но есть и хорошая новость: если интенсивные тренировки вам не под силу, вы все равно сможете играть в футбол – для развлечения, для самого себя. Сделав пас защитнику или забив гол с большого расстояния, вы будете получать такое же удовольствие, как и профессиональный спортсмен. Кроме того, играя в футбол с друзьями, вы почувствуете себя намного здоровее и счастливее, чем если просто сидели бы и смотрели по телевизору игру профессионалов.
Математика представляет собой почти то же самое. Возможно, вы не станете обременять себя профессией, непосредственно связанной с этой наукой. Что вполне нормально, поскольку большинство людей не ставят перед собой такой цели. Тем не менее вы все-таки можете заниматься математикой. По всей вероятности, вы – сами того не зная – уже решаете математические задачи[2 - В объяснении правил судоку в английской версии газеты Metro, в частности, сказано: «Хотя это игра с числами, она не требует математических навыков – только понимания логики и терпения». Прим. М. Г.]. Математика вплетена в ткань нашего мышления. Кроме того, математика помогает человеку лучше делать свое дело. Знание математики – своего рода рентгеновские очки, позволяющие увидеть структуру мира, скрытую под беспорядочной, хаотичной поверхностью. Математика – это наука о том, как не совершать ошибок, а математические формы и методы выковывались на протяжении многих столетий упорного труда и дискуссий. Владение математическим инструментарием позволит вам составить более глубокое, достоверное и осмысленное представление об окружающем мире. Все, что вам нужно, – это тренер или по крайней мере книга, которая научит вас правилам игры и некоторым базовым тактическим приемам. Я буду вашим тренером. Я научу вас этому».
К сожалению, на занятиях из-за нехватки времени мне не часто приходится произносить подобные речи. Напротив, в книге всегда найдется место и для более пространных рассуждений. Надеюсь, мне удастся оправдать сделанные выше серьезные заявления, показав вам, что математика позволяет решать многие из задач – будь то политика, медицина, коммерция или богословие, – над которыми мы размышляем каждый день.
Однако даже если я и произнес бы свою вдохновляющую речь перед студенткой, у нее – если она действительно проницательна – все равно останутся сомнения.
«Профессор, – сказала бы она, – все это звучит неплохо, но несколько абстрактно. Вы говорите, будто математические знания позволяют нам делать правильные шаги там, где в противном случае мsы обязательно оступились бы. Но что именно вы имеете в виду? Дайте конкретный пример».
И тогда я рассказал бы студентке историю Абрахама Вальда, а также вспомнил бы о его решении проблемы отсутствующих пулевых отверстий.
Рассказ об Абрахаме Вальде и отсутствующих пробоинах
Подобно многим историям времен Второй мировой войны, мой рассказ начинается с того, как нацисты изгнали евреев из Европы, и заканчивается тем, что они горько об этом пожалели. Абрахам Вальд родился в 1902 году в городе, который тогда назывался Клаузенбург и принадлежал Австро-Венгерской империи[3 - Биографические материалы об Абрахаме Вальде взяты из работы: Oscar Morgenstern. Abraham Wald, 1902–1950 // Econometrica, 1951, Oct., 19, no 4, p. 361–367.]. К тому времени, когда Вальд достиг подросткового возраста, Первая мировая война уже вошла в учебники, а его родной город стал румынским городом Клуж. Внук раввина и сын булочника, Вальд проявлял математические способности с самых ранних лет. Одаренность мальчика не осталась без внимания, и он получил возможность изучать математику в Венском университете, где увлекся предметами настолько абстрактными, что даже по меркам чистой математики они были слишком трудны для понимания: теорией множеств и метрическими пространствами.
Вальд закончил обучение в середине 30-х годов ХХ столетия, когда Австрия уже находилась в состоянии глубокого экономического спада. Как у иностранца у Вальда не было шансов получить в Вене должность профессора, но его спасло предложение, поступившее от Оскара Моргенштерна. Впоследствии Моргенштерн иммигрирует в Соединенные Штаты Америки и будет участвовать в создании теории игр, а в 1933 году он, будучи директором Австрийского института экономических исследований, нанял Вальда для выполнения элементарных математических задач. Согласие на эту работу – хотя ему и назначили совсем небольшую оплату – оказалось весьма умным решением. В дальнейшем благодаря полученному опыту в области экономики Вальд получил предложение войти в комиссию Коулза – экономической организации, которая в то время находилась в Колорадо-Спрингс. Несмотря на ухудшающуюся политическую ситуацию, Вальд не хотел делать шаг, который навсегда разлучил бы его с чистой математикой. Но затем нацисты захватили Австрию, что помогло Вальду сделать окончательный выбор. После нескольких месяцев работы в Колорадо он получил предложение занять профессорскую должность в Колумбийском университете. Вальд снова упаковал вещи и переехал в Нью-Йорк.
Именно там Абрахам Вальд встретил войну.
Группа статистических исследований (Statistical Research Group; далее по тексту – SRG)[4 - Исторические данные о SRG взяты главным образом из следующего источника: W. Allen Wallis. The Statistical Research Group, 1942–1945 // Journal of the American Statistical Association, 1980, June, 75, no 370, p. 320–330.], в которой Вальд работал на протяжении большей части Второй мировой войны, выполняла секретную программу; ее цель состояла в том, чтобы собрать крупнейших американских специалистов по статистике и использовать их возможности для решения военных задач. Это напоминало Манхэттенский проект, только в качестве оружия, разработкой которого занималась SRG, выступали уравнения, а не взрывчатые вещества. Кроме того, SRG располагалась действительно на Манхэттене, в районе Морнингсайд-Хайтс, в доме 401 на Западной 118-й улице – всего в одном квартале от Колумбийского университета. Сейчас в этом доме находятся квартиры профессоров Колумбийского университета и несколько кабинетов врачей, но в 1943 году это был живой и блестящий мозговой центр военной математики. В одном из помещений располагалась Группа прикладной математики Колумбийского университета; десятки молодых женщин корпели над калькуляторами Marchant, рассчитывая формулы для оптимальной траектории движения истребителя, позволявшей ему постоянно держать вражеский самолет на прицеле. В другом помещении команда исследователей Принстонского университета разрабатывала схемы стратегических бомбардировок. А по соседству группа ученых Колумбийского университета работала над созданием атомной бомбы.
Однако SRG была самой сильной и, по большому счету, самой влиятельной из всех этих групп. В SRG царила атмосфера интеллектуальной открытости и интенсивной научной мысли – все работали с ощущением общей цели, которое возникает только при решении задач особой важности. «Когда мы давали рекомендации, – писал руководитель SRG Уилсон Аллен Уоллис, – их использовали. Пулеметы истребителей, вступавших в бой, были снаряжены согласно рекомендациям Джека Вулфовица[5 - Отец Пола [Пол Вулфовиц – американский политик, президент Всемирного банка (2005–2007). Прим. М. Г.].] по поводу того, как смешивать боеприпасы разных типов, – и летчики либо возвращались, либо нет. Топливо ракет, которые запускали самолеты военно-морских сил, проходило проверку в соответствии со схемой выборочного контроля Эйба Гиршика – и эти ракеты либо взрывались и уничтожали наши собственные самолеты и наших летчиков, либо поражали цель»[6 - W. Allen Wallis. The Statistical Research Group…, p. 322.].
Математический талант членов группы соответствовал важности задачи. По словам Уоллиса, «как с точки зрения количества, так и с точки зрения качества SRG была самой выдающейся группой специалистов по статистике из всех когда-либо созданных»[7 - W. Allen Wallis. The Statistical Research Group…, p. 322.]. В группе работали: Фредерик Мостеллер – впоследствии основатель факультета статистики Гарвардского университета; Леонард Джимми Сэвидж[8 - Сэвидж был почти слепым и видел только уголком одного глаза. Как-то, чтобы доказать какую-то свою идею об освоении Арктики, он целых полгода питался одним пеммиканом [мясной концентрат; пища индейцев Северной Америки и основной мясной продукт в арктических и антарктических экспедициях начала XX века. Прим. М. Г.]. Просто подумал, что об этом стоит упомянуть.] – первопроходец теории принятия решений и большой приверженец области математики, позже ставшей известной как байесовская статистика. В SRG время от времени заглядывал Норберт Винер – математик Массачусетского технологического института, создатель кибернетики. Это был коллектив ученых, в котором почетное четвертое место среди самых толковых занимал Милтон Фридман – будущий лауреат Нобелевской премии по экономике.
А первое место по праву закрепилось за Абрахамом Вальдом. Вальд – преподаватель Аллена Уоллиса в Колумбийском университете – стал для всей группы своего рода высочайшим математическим авторитетом. Впрочем, как «подданный враждебного государства» с юридической точки зрения Вальд не имел права видеть секретные отчеты – те отчеты, которые он собственноручно составлял. В SRG шутили, что секретари обязаны буквально вырывать из-под его пера каждый листок бумаги тут же, как только он его допишет[9 - W. Allen Wallis. The Statistical Research Group…, p. 329.]. При этом Вальд практически не вписывался в общую направленность группы: он был очень далек от решения прикладных задач, поскольку его всегда интересовала лишь абстрактная математика. Однако в данном случае верх взяла его личная заинтересованность: посвятить свой талант антифашистской борьбе. Так или иначе, но Вальда сочли именно тем человеком, которого лучше было иметь на своей стороне – тем более, когда возникала необходимость перевести расплывчатые мысли на язык точных математических формулировок.
* * *
Задача заключалась в следующем. Вы не хотите, чтобы вражеские истребители сбивали ваши самолеты, поэтому покрываете их броней. Но броня делает самолет более тяжелым, что снижает его маневренность и увеличивает расход топлива. Если на самолете слишком много брони – это проблема; если брони слишком мало – это тоже проблема. Где-то в интервале лежит оптимальное решение. Чтобы вычислить этот идеальный вариант, вы собираете под крышей нью-йоркской квартиры команду лучших математиков[10 - Я узнал о Вальде и проблеме крепкой авиационной брони из книги Говарда Вейнера: Howard Wainer. Uneducated Guesses: Using Evidence to Uncover Misguided Education Policies. NJ: Princeton University Press, 2011. Автор использует идеи Вальда для анализа таких же сложных и неполных статистических данных, полученных в ходе изучения сферы образования.].
Военные представили на рассмотрение SRG данные, которые, по их мнению, могли бы помочь в решении задачи. Когда американские самолеты выходили из воздушных боев над Европой, они были покрыты дырами от пуль. Однако повреждения распределялись по корпусу самолета не равномерно. Пробоин на фюзеляже было больше, чем на двигателе.
Представители командования увидели возможность повысить эффективность использования самолетов, обеспечив такой же уровень защиты в его уязвимых местах, для этого требовалось правильно распределить количество брони, делая ее слой толще там, где самолет получает больше всего пробоин. Но сколько именно брони следует устанавливать на этих частях самолета? С просьбой найти нужное решение военные обратились к Вальду. И получили совсем неожиданный ответ.
Броню следует укреплять не там, сказал Вальд, где больше всего пробоин, а там, где их нет, то есть на двигателе.
Вальд задался вопросом: где находятся недостающие пробоины? Именно в этом проявилась его проницательность – в простоте поставленной задачи. Речь шла о тех самых отверстиях от поражающих средств – пробоинах, которые покрывали бы кожух двигателя, если повреждения были бы распределены равномерно по всему самолету. В ответе на свой вопрос Вальд не сомневался ни на йоту. Причина, почему на двигателях уцелевших самолетах было меньше повреждений, только одна: в случае прямого попадания в двигатель самолет просто не возвращался из боя. Однако многие самолеты прилетали на базу с фюзеляжем, похожим на швейцарский сыр, – убедительный довод в пользу того, что корпус можно (а значит, и нужно) оставить без дополнительной брони. В военном госпитале вы встретите гораздо больше раненных не в грудь, а в ноги. Но причина не в том, что люди не получают ранений в грудь – просто после таких ранений они, как правило, не выживают.
Вот старый математический прием, который вносит полную ясность в картину происходящего: присвоить некоторым переменным значение 0. В данном случае в качестве такой переменной выступает вероятность того, что самолет, получивший прямое попадание в двигатель, может остаться в воздухе. Нулевое значение этой вероятности означает, что единственное попадание в двигатель неизбежно приводит к падению самолета. Как выглядели бы данные о возвращающихся самолетах в таком случае? У вас есть самолеты, вернувшиеся с дырами от пуль в крыльях, фюзеляже, носовой части, но нет ни одного самолета с пробоинами в двигателе. Военный аналитик может объяснить этот факт двумя причинами: либо немецкие орудия попадают во все части самолета, кроме одной, либо двигатель – это самое уязвимое место. Обе причины объясняют данные о повреждениях на уцелевших самолетах, но второе объяснение гораздо логичнее. Стало быть, броню следует укреплять там, где нет пулевых отверстий.
Выводы Вальда были сразу приняты к сведению, более того, ими руководствовались во время военных действий в Корее и во Вьетнаме[11 - См.:Marc Mangel, Francisco J. Samaniego. Abraham Wald’s Work on Aircraft Survivability // Journal of the American Statistical Association, 1984, June, 79, no. 386, p. 259–267.]. Я не могу точно сказать, сколько американских самолетов спасли его рекомендации, хотя это наверняка известно тем преемникам SRG в современных вооруженных силах, которые занимаются сбором и обработкой данных. Высшие чины американских военных ведомств всегда отдавали себе отчет, что страны побеждают в войнах не потому, что они храбрее противника или более независимы или им чуть больше благоволит Бог. Как правило, победителем становится тот, у кого сбивают на 5 % меньше самолетов, или кто использует на 5 % меньше топлива, или кто обеспечивает пехоте на 5 % более качественное питание[12 - Отдельный интересный вопрос, как измерять качество питания в процентах. Прим. М. Г.] при 95 % затрат. О таких вещах не принято говорить в военных фильмах, но именно к ним сводятся сами войны. И на каждом этапе этого пути присутствует математика.
