. Снова использовав тот же довод, мы можем утверждать, что Q, по необходимости, является четным числом. Но этого не может быть, так как мы уже определили, что дробь P/Q является несократимой, а отношение двух четных чисел всегда является сократимой дробью. Следовательно, мы пришли к неразрешимому противоречию. Это был поразительный вывод: просто предположив, что совершенное соотношение существует, Гиппас показал, что это допущение приводит к абсурду.
Единственным выходом из противоречия было заключить, что для выражения корня квадратного из 2 не существует рационального числа, то есть – не существует красивого и магического целочисленного соотношения. На горизонте замаячил демон иррациональности, потрясший веру до основания; святости божественной пропорциональности был нанесен сокрушительный удар. Мало того: последовательное применение метода – доказательства от противного – показало, что ?2 не является дьявольским исключением, единственной аномалией, для существования которой можно было придумать рациональное обоснование. Наоборот, новый метод доказательства позволил обнаружить и новый класс чисел – чисел, непредставимых в форме точного соотношения и названных иррациональными. Вдобавок, словно для того, чтобы окончательно уязвить пифагорейцев, та же логика привела и к другому открытию: множество иррациональных чисел бесконечно больше, чем множество всех рациональных чисел[8 - Это не фигура речи: на самом деле существуют разные типы бесконечности. Наименьшее множество – это множество натуральных чисел (1, 2, 3, …), представляющее собой “счетную” бесконечность. Множество действительных чисел (включающее и иррациональные) содержат бесконечно больше элементов и являются “несчетными”. Рассмотрение этого вопроса выходит за рамки настоящей книги, но есть одна интересная мысль, о которой непременно стоит упомянуть. Бесконечности анализируются отнюдь не интуитивно; самое малое по числу элементов бесконечное множество называют “алеф-ноль”; из его причудливых свойств можно выделить то, что алеф-ноль плюс или минус конечное множество дает в результате снова алеф-ноль. Этот факт породил шутку о теории чисел: “Алеф-ноль бутылок пива стоит на полке бара. Возьмем одну бутылку и пустим ее по кругу. Но на полке все равно останется алеф-ноль бутылок пива!” Жаль, что очень мало пересечение множества всех теоретиков чисел с множеством комиков.].
Этим своим впечатляющим интеллектуальным подвигом Гиппас вовсе не снискал любви и уважения общины. Легенды по-разному рассказывают о его судьбе, о том, как обошлись с ним оскорбленные последователи Пифагора, и нам очень трудно отделить истину от апокрифов. Но точно известно, что дерзость Гиппаса, осмелившегося осквернить рай пифагорейской общины с помощью ее же собственного инструментария, вызвало ярость секты, и она осудила Гиппаса, обвинив его в нарушении благочестия. Если верить дошедшему до нас рассказу, Гиппас был приговорен к наказанию, предусмотренному за подобное преступление: к утоплению в море. Но хотя пифагорейцы и смогли убить этого человека, они оказались не в состоянии отменить реальность, которую тот открыл. Со временем иррациональность чисел размыла сам фундамент того, что они считали священным. Конечно, математическое понятие иррациональности отличается от ее расхожего определения: “отсутствие разумной логики в словах и действиях”. Но забавная абсурдность описанной ситуации заключается в том, что слепая приверженность пифагорейцев к рациональности была иррациональной, а признание существования иррациональности было единственным рациональным решением!
Конец ознакомительного фрагмента.
Текст предоставлен ООО «ЛитРес».
Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию (https://www.litres.ru/pages/biblio_book/?art=64395912&lfrom=174836202) на ЛитРес.
Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.
notes
Примечания
1
Корпорация РЭНД (англ. аббревиатура от Research and Development – “Ис следования и разработка”) – американская некоммерческая организация, выполняющая функции стратегического исследовательского центра, который работает по заказам правительства США. – Прим. редактора. Дальнейшие примечания, кроме особо оговоренных, авторские.
2
Формоз был в конце концов реабилитирован и погребен с почестями в полном папском облачении, однако на этом его злоключения не прекратились. Много лет спустя жестокий и распутный папа Сергий III отменил прощение. Несколько источников сообщают, что Сергий даже приказал обезглавить труп – видимо, для верности. Истинность этих сведений подтвердить трудно, но Сергий своей жестокостью и развращенностью выделялся даже на фоне других, не отличавшихся нравственностью и милосердием, римских пап того времени. По словам одного из современников, Сергий был “негодяем, заслуживавшим веревки или костра”.
3
Существуют и иные типы суждений, например (самое важное!) индуктивное суждение, в котором посылки являются скорее доводами, чем абсолютными доказательствами утверждения. В этом случае утверждение является в первую очередь вероятностным, а не определенным. Мы здесь займемся, главным образом, дедуктивной логикой, но будем помнить и о других возможностях.
4
Однако это не только логическая ошибка. Во многих исследованиях было по казано, что теории заговора являются важнейшим элементом деятельности как левых, так и правых маргинальных групп, глубинно связанных с идеологией их последователей; психологические аспекты этого явления будут рассмотрены в следующих главах.
5
Однажды Харди заявил, что его труды не имеют практического приложения, чем он почему-то несказанно гордился. Судьба и история пошутили над Харди, чьи работы по теории чисел стали основой криптографии, от которой мы все зависим в нашу информационную эпоху. Этот вопрос замечательно освещен в книге Саймона Сингха “Книга шифров” (Singh, Simon. The Code Book).
6
Эпонимический закон Стиглера, описанный профессором статистики Стивеном Стиглером, гласит, что “ни одно научное открытие не носит имя своего настоящего автора”. Первый пример – теорема Пифагора, известная еще древним вавилонянам и египтянам. Отрадно, что сам Стиглер, проявляя несгибаемую последовательность, приписывает свой закон социологу Роберту Мертону. В математике действительно есть немало теорем, авторство которых приписано отнюдь не их открывателям. Многие такие случаи были задокументированы историком Карлом Бойером, что побудило математика Хьюберта Кеннеди предложить закон Бойера: “Математические формулы и теоремы, как правило, не носят имен своих первооткрывателей”. Кеннеди иронично заметил, что это “редкий случай закона, содержание которого подтверждает его собственную достоверность”. От такого утверждения греческие философы, пожалуй, потеряли бы покой и сон.
7
Мэри Бейкер Эдди, основательница Церкви Христа-Ученого и движения “Христианская наука”.
8
Это не фигура речи: на самом деле существуют разные типы бесконечности. Наименьшее множество – это множество натуральных чисел (1, 2, 3, …), представляющее собой “счетную” бесконечность. Множество действительных чисел (включающее и иррациональные) содержат бесконечно больше элементов и являются “несчетными”. Рассмотрение этого вопроса выходит за рамки настоящей книги, но есть одна интересная мысль, о которой непременно стоит упомянуть. Бесконечности анализируются отнюдь не интуитивно; самое малое по числу элементов бесконечное множество называют “алеф-ноль”; из его причудливых свойств можно выделить то, что алеф-ноль плюс или минус конечное множество дает в результате снова алеф-ноль. Этот факт породил шутку о теории чисел: “Алеф-ноль бутылок пива стоит на полке бара. Возьмем одну бутылку и пустим ее по кругу. Но на полке все равно останется алеф-ноль бутылок пива!” Жаль, что очень мало пересечение множества всех теоретиков чисел с множеством комиков.
