Как такое может быть? Можно было бы предположить, что задача, которую можно сформулировать таким простым образом, должна иметь простое решение. Не тут-то было! На простой вопрос не всегда есть простой ответ. В математике есть множество вопросов, которые можно задать маленькому ребенку, и он легко поймет, в чем состоит задача, но ответов на них до сих пор не нашли даже самые гениальные взрослые.
Если рассмотреть достаточное количество примеров задачи Коллатца, можно заметить одно обстоятельство: последние числа, появляющиеся в этом процессе представляют собой последовательно уменьшающиеся степени 2. Например, если начать с 15, то последние пять чисел последовательности – это 16, 8, 4, 2 и, наконец, 1.
Это явление можно сформулировать в виде правила, сказав, что если процесс доходит до числа вида 2
, то он гарантированно сойдется к 1 в точности через n делений на 2. Это наблюдение позволяет перефразировать гипотезу 3n + 1 следующим образом: приходит ли на каком-то этапе процесс, начатый с любого произвольного числа, к степени 2?
Принцип замены исходной задачи на другую называется приведением или упрощением. Этот метод – полезный математический инструмент; в некотором смысле он открывает более естественный путь к решению математических задач. Еще одна, похожая, стратегия решения задач – это рассуждения в обратном порядке (от конца к началу). Этот прием, возможно, знаком вам по лабиринтам. Когда разрабатываешь маршрут по лабиринту, иногда бывает удобнее начать от выхода и прокладывать путь к исходной точке. В некотором глубоком смысле можно сказать, что в том же состоит и метод приведения математической задачи.
Венгерский математик Пал Эрдёш (1913–1996) любил предлагать денежные призы за успешное решение интересовавших его открытых математических проблем. Призы эти начинались с 25 долларов, а доказательство гипотезы Коллатца стоило в его прейскуранте целых 500 долларов – то есть попадало в категорию весьма дорогих задач, хотя сам Эрдёш говорил, что мир математики, возможно, не готов к таким сложным и запутанным задачам, как гипотеза 3n + 1. Эрдёша уже нет с нами, но можно не беспокоиться: выплату призов взял на себя его коллега Рон Грэм. Если вам удастся решить эту задачу, вы можете получить приз одним из двух способов: либо в виде чека, который сам Эрдёш выписал перед смертью (его можно только вставить в рамку: срок действия этого чека давно истек), либо реальными деньгами (выбор между грехом гордыни и грехом сребролюбия).
К слову, а также потому, что я хотел бы поделиться этим интересным фактом, самое большое число, когда-либо использованное в математическом доказательстве, названо в честь этого же самого Рона Грэма. Число это настолько велико, что его невозможно записать в стандартной математической нотации.
Мудрость – это знать, что не знаешь того, чего не знаешь, и знаешь то, что знаешь. Глупость – это думать, что знаешь то, чего не знаешь, или не знаешь того, что знаешь.
Китайская пословица
ЧИСЛО ЭРДЁША
Пал Эрдёш был математиком исключительно плодовитым. Его превосходную биографию можно найти в книге Пола Хофмана «Человек, который любил только числа» (The Man Who Loved Only Numbers, 1998). Он написал более 1400 научных статей. Эрдёш был страстным поборником командной работы и сотрудничества, и за годы его научной деятельности вместе с ним над его статьями работали целых 511 математиков. Любому математику, который когда-либо писал статью в соавторстве с самим Эрдёшем, присваивается престижное число Эрдёша, равное 1. Те, кто сотрудничал с его соавторами, но не с самим Эрдёшем, получают число Эрдёша, равное 2. Аналогичным образом по мере все большего удаления присваиваются числа Эрдёша, равные 3, 4 и так далее. Общее правило таково: если вы сотрудничаете с человеком, наименьшее число Эрдёша которого равно k, то ваше число Эрдёша равно k + 1. Сам Эрдёш был единственным человеком с числом Эрдёша, равным 0. На противоположном конце спектра находятся те, кто никогда не писал статей с Эрдёшем и никогда не писал статей ни с кем из имеющих конечное число Эрдёша: их число Эрдёша равно бесконечности (?). «Бесконечное число Эрдёша» звучит весьма престижно – может быть, даже престижнее, чем, скажем, «число Эрдёша 7», – но многие из вас, наверное, удивятся, узнав, что ваше собственное число Эрдёша (как и у большей части человечества) как раз и равно бесконечности. Я сам не пишу статей, но однажды принимал участие в совместной работе над статьей с математиком, число Эрдёша которого равнялось 3, так что я, даже не стремясь к тому, стал гордым обладателем числа Эрдёша, равного 4.
Это напоминает популярную салонную игру «Шесть шагов до Кевина Бейкона». Знаменитый голливудский актер Кевин Бейкон заявил однажды, что все до единого актеры в Голливуде либо снимались с ним вместе (Бейкон?1), либо снимались с кем-нибудь, с кем снимался и он (Бейкон?2), либо с кем-нибудь, кто снимался с кем-нибудь, кто… (Бейкон?3, 4 и т. д.). В целом, утверждал он, «число Бейкона» почти всех актеров и актрис Голливуда не превышает 6. Например, у Элвиса Пресли оно равно 2. Связь между ними вы можете восстановить самостоятельно[1 - Для этого можно ввести в Google поисковый запрос «Elvis Presley Kevin Bacon». Элвис Пресли снимался в фильме «Смена привычки» (Change of Habit, 1969) с Эдвардом Аснером. Эдвард Аснер играл в фильме «Джон Ф. Кеннеди. Выстрелы в Далласе» (JFK, 1991), в котором снимался и Кевин Бейкон. Следовательно, у Аснера число Бейкона равно 1, а у Пресли (который никогда не играл в тех же фильмах, что и Бейкон) – 2.]. Кажется, что мир действительно тесен: в нем есть люди, у которых есть и число Эрдёша, и число Бейкона. Например, у Рона Грэма число Эрдёша равно 1, а число Бейкона – 2. А у знаменитой израильской актрисы Натали Портман число Эрдёша равно 5, а число Бейкона – 1 (этого вы не ожидали, правда?).
Вернемся наконец к доказательству гипотезы Коллатца. Его не существует, и, по правде говоря, я знаю множество способов заработать 500 долларов, гораздо более простых, чем возня с этой задачей.
Загадка шахматной доски
Я несколько сомневался, говорить ли о следующей загадке. На самом деле она очень проста. Тем не менее после бурного спора с самим собой я решил все-таки рассказать о ней, потому что она весьма знаменита, причем и сама загадка, и ее решение замечательно красивы.
Рассмотрим сетку размером 8 ? 8 ячеек.
Очевидно, всю эту сетку легко покрыть 32 костяшками домино размером 1 ? 2 ячейки. А теперь уберем две клетки, расположенные в противоположных углах.
Можно ли покрыть получившуюся сетку всего 31 костяшкой?
Мои друзья (все они не математики, но по большей части люди весьма умные) в большинстве своем уверены, что можно, – нужно только сообразить, как именно их следует расположить.
Но правильный ответ на этот вопрос – «нет». Что бы мы ни делали, 31 костяшка домино не может покрыть сетку с удаленными противоположными угловыми клетками.
Почему это так, немедленно становится ясно, если взять вместо такой незакрашенной сетки черно-белую шахматную доску.
Как видно на рисунке, каждая костяшка домино может закрыть одну черную клетку и одну белую; поэтому 31 костяшка может закрыть в точности 31 белую клетку и 31 черную. Поскольку две клетки, удаленные с доски, одного и того же цвета – белые, – в обрезанной доске осталось 30 белых клеток и 32 черные. Много лет назад, когда я учился на математическом факультете в Тель-Авиве, я вел для «интересующейся наукой молодежи» курс под названием «Парадоксы, загадки и числа». Я давал эту задачу молодым слушателям своего курса. Каждый раз происходила одна любопытная вещь. Многие ученики решительно не соглашались с доказательством, которое показывает, что 31 костяшка домино не может покрыть доску с удаленными противоположными угловыми клетками. Интересно отметить, что в их число входили и ученики, казалось бы, вполне понимавшие объяснение этого доказательства; тем не менее они упорно раскладывали костяшки домино так и эдак, стараясь покрыть эту самую доску с обрезанными углами. Я даже не пытался убедить их в бессмысленности этого занятия – каждый должен учиться на собственных ошибках.
История учит нас, что люди и народы ведут себя мудро после того, как они исчерпают все остальные возможности.
Абба Эвен
Головоломка
Докажите, что, если из шахматной доски удалить любые две клетки разных цветов, все оставшиеся клетки всегда можно покрыть 31 костяшкой домино.
Бесконечные крестики-нолики
Когда я учился в начальной школе в Литве, в своем родном Вильнюсе, одним из самых значительных моих достижений было обретение виртуозного умения играть на уроках в стратегические игры с карандашом и бумагой и не попадаться учителям. Моей любимой игрой был бесконечный вариант крестиков-ноликов. Эта игра не раз спасала меня от скуки на занятиях, на которых меня заставляли сидеть.
Позвольте объяснить вам правила игры.
Вы, несомненно, знакомы с обычными крестиками-ноликами, в которые играют на поле размером 3 ? 3 клетки. Эта игра подходит для детей лет до шести. После этого возраста каждая партия должна неизменно заканчиваться вничью, если только один из игроков не заснет в процессе игры (что, бесспорно, возможно, учитывая, насколько эта игра скучна).
В бесконечном варианте играют на бесконечном поле, и каждый игрок стремится выстроить ряд из пяти крестиков или ноликов. Как и в исходном варианте, ряд может быть горизонтальным, вертикальным или диагональным. Игроки по очереди ставят на поле крестики и нолики, и первый, выстроивший ряд из пяти своих символов, считается победителем.
a)
б)
a) У ноликов нет хода, который позволил бы заблокировать две «открытые» тройки крестиков; нолики проигрывают
б) Пример еще одной партии, которую только что выиграли крестики
В начальной школе, когда я «открыл» эту игру, я думал, что сам ее и изобрел, но впоследствии узнал, что это не так: существует игра под названием «гомоку», очень похожая на бесконечные крестики-нолики. Она особенно популярна в Японии и Вьетнаме. Слово го означает по-японски «пять».
Вы наверняка слышали об игре го. Однако, хотя в гомоку часто играют на такой же доске, какую используют для этой прославленной великой игры, между ними нет никакой связи. Го – древняя китайская игра, которая даже упоминается в «Аналектах»[2 - Китайское название – «Лунь юй», первая из четырех книг конфуцианского канона. В русских переводах называется также «Беседы и суждения». – Здесь и далее, если не указано иное, постраничные примеч. перев.] Конфуция. Поскольку она попала на Запад через Японию, мы используем ее японское название, но, как я уже сказал, го – это не гомоку[3 - Более того, даже кажущееся сходство названий этих игр случайно. Го моку означает по-японски «пять камней». Название же игры го происходит от слов и-го, японского перевода китайского названия вэй-ци, которое традиционно переводится на русский как «облавные шашки».][2 - Го – это абстрактная стратегическая настольная игра для двух игроков, задача которых – окружить большую территорию, чем противник. Эта игра требует стратегического и тактического мастерства и большой наблюдательности. Гомоку (которую называют также «гобан», или «пять в ряд») – тоже абстрактная стратегическая настольная игра, и в нее традиционно играют шашками («камнями») для го на доске для го размером 15 ? 15 или 19 ? 19 клеток. Однако задача участника этой игры – первым выстроить ряд из пяти шашек. В эту игру также можно играть с карандашом и бумагой.].
Несмотря на тот опыт, который я накопил, играя на уроках – а иногда и на переменах (хотя на переменах играть не так интересно – потому что это не запрещено!), я не мог понять, всегда ли игрок, начинающий первым (то есть играющий крестиками), выигрывает, если он применяет правильную стратегию, независимо от того, как играет его противник, или же партия всегда заканчивается вничью (точнее, не может закончиться никогда), если оба ее участника играют правильно. Интуиция подсказывала мне, что должна существовать какая-то стратегия, обеспечивающая победу игроку, делающему первый ход в партии.
По совести, я должен признаться, что не играл в эту игру уже несколько десятков лет. Я вспомнил о ней, когда писал эту книгу. Но вопросы о стратегических аспектах игры и о существовании некой выигрышной стратегии занимают меня до сих пор. Я даже готов поспорить, что такая выигрышная стратегия существует. Когда я буду старше и у меня будет больше свободного времени, я собираюсь всерьез заняться поисками этой стратегии, но, пока эти мои планы относятся к отдаленному будущему, вы вполне можете попытаться найти ее раньше меня и избавить меня от этой работы.
Монах и его задача[3 - Впервые я увидел эту задачу о восхождении монаха в книге Мартина Гарднера «Мои лучшие математические и логические головоломки» (My Best Mathematical and Logical Puzzles, 1994). Это чрезвычайно увлекательная маленькая книжка.]: взгляд с обеих сторон
Однажды ранним утром, на самом восходе солнца, старый буддийский монах начал подниматься по крутому и извилистому горному склону к монастырю, стоявшему на вершине. Монах взбирался по узкой, извивающейся тропе – единственному пути в монастырь. Подъем был поистине изнурительным.
Он шел то быстрее, то медленнее, время от времени останавливаясь передохнуть, бормоча мантры, а иногда задерживаясь, чтобы немного поесть или попить воды. До монастыря на вершине он добрался в тот самый момент, когда солнце начинало садиться. Старый монах провел в монастыре несколько дней, уча молодых монахов о сострадании, о Четырех благородных истинах, о шуньяте (пустотности), об иллюзорности самосознания, о сансаре и страдании, о карме и спокойствии, о Благородном восьмеричном пути, об учении Нагарджуны и о желании избавиться от желаний.
Когда же монах закончил свои поучения, пришло время спуститься с горы и вернуться в свою деревню. Он начал спускаться в то же время, когда начинал подниматься – с появлением первых солнечных лучей, – и шел в точности по тому же пути, что и раньше. Спускался старый монах, разумеется, гораздо быстрее, чем поднимался. Когда он дошел до конца спуска, ему в голову пришло, что на тропе, несомненно, есть такая точка, которую он проходил на подъеме и на спуске в точности в одно и то же время суток.
Головоломка
Как монах пришел к этому выводу? Если вы еще не нашли ответа на этот вопрос за десять секунд размышлений, вот вам вполне очевидная подсказка:
Пусть два монаха отправляются в путь на рассвете, причем один из них поднимается от подножия горы, а второй спускается с ее вершины. В какой-то точке они неизбежно встретятся.
Математика тенниса: бесконечность – это сколько?
Версия первая
В 1953 г. английский математик Джон И. Литлвуд (1885–1977) предложил следующий парадокс, известный теперь под названием «парадокс Росса – Литлвуда».
Перед входом в огромную пустую комнату выложен бесконечный ряд теннисных мячей, пронумерованных по порядку: 1, 2, 3, 4… Близится полночь. За тридцать секунд до 0:00 в комнату вносят мячи 1 и 2 и мяч номер 1 немедленно выносят из нее. За пятнадцать секунд (четверть минуты) до 0:00 в комнату вносят мячи 3 и 4, а мяч номер 2 выносят. За одну восьмую минуты до 0:00 в комнату вносят мячи 5 и 6, а мяч номер 3 выносят – и так далее. На языке математики мы бы сказали, что за (?)
минуты до 0:00 в комнату вносят мячи 2n – 1 и 2n, а мяч номер n из нее выносят.
Спрашивается, сколько мячей будет в комнате ровно в 0:00?
Те, кто пытается ответить на этот вопрос, замечают, что возможных ответов существует два, и у обоих почти что поровну сторонников: бесконечно много или ни одного. Как такое может быть? Рассмотрим логические обоснования обоих ответов.
Бесконечно много. В конце процесса в комнате будет бесконечно много мячей, потому что на каждом из бесконечного количества этапов в ней прибавляется по одному мячу (два заносят в комнату, но один из нее выносят). Математики формулируют это утверждение так: для любого n можно точно определить момент, в который число мячей равно n + 1. Следовательно, в 0:00 в комнате окажется бесконечно много мячей.
