на рис. 2.3). При этом Луна тянет спутник точно в ту же сторону, что и Земля, и, пока спутник остается точно на линии, соединяющей Землю и Луну, ничего другого Луна для него не делает: она работает как усилитель притяжения к центру масс (который тоже находится на линии, соединяющей Землю и Луну). А по законам Ньютона более сильное притяжение означает, что спутник движется по орбите быстрее, чем если бы действовало только притяжение Земли. Это отличная идея, если только удастся двигаться ровно настолько быстрее, чтобы все время оставаться на заветной линии Земля – Луна: такое расположение будет поддерживать то самое «усиленное» притяжение к центру масс, благодаря которому спутник может лететь так быстро, чтобы все время оставаться за Луной, благодаря чему продолжать испытывать более сильное притяжение к центру масс… Эта «история про курицу и яйцо» выражается уравнениями, решение которых и нашли сначала Эйлер (1760), а потом Лагранж (1772): точка L
, где все складывается так удачно, существует! На ней и основано решение проблемы ретрансляционного спутника – с небольшим уточнением, которое будет сделано чуть ниже.
Рис. 2.3. Точки Лагранжа L1 – L
в системе Земля – Луна
Другой интересный вариант – ЗСЛ, что означает спутник между Землей и Луной. На этот раз Земля и Луна тянут спутник в разные стороны: с точки зрения спутника это означает, что притяжение к центру масс слабее, чем если бы его притягивала одна только Земля. А это, в свою очередь, означает, что он летит по орбите выбранного радиуса медленнее, чем полетел бы в отсутствие Луны. Снова появляется надежда на успех, потому что «медленнее, чем обычно» – это как раз то, что требуется, ведь и спутник находится ближе к центру вращения, чем Луна. Мы снова ищем такую точку, где разность двух сил притяжения позволяет, находясь ближе к Земле, чем Луна, не обгонять Луну, а оставаться на линии Земля – Луна, из-за чего две силы притяжения продолжают вычитаться, из-за чего скорость движения по орбите меньше, чем если бы Луны не было, из-за чего тело все время остается на линии Земля – Луна, из-за чего оно испытывает настолько меньшую силу притяжения к центру, что движется ровно настолько медленнее, чтобы… Эта «самозацикливающаяся» фраза снова описывает уравнение. Математический факт с непосредственным приложением к космонавтике состоит в том, что решение у этого уравнения есть, и оно определяет единственную точку между Землей и Луной – точку L
на рис. 2.3. Это – подходящее место для космической базы: прекрасные условия радиосвязи и с Землей, и с Луной плюс определенные удобства путешествия к обоим телам. Это, собственно говоря, перевалочная точка: имея целью Луну, но долетев с Земли сначала на L
, мы дополнительно потратимся на эту «остановку» очень незначительно. Поэтому отсылать, например, грузы в L
и хранить их там до момента, когда они понадобятся на Луне, можно практически без лишних затрат топлива по сравнению с прямой доставкой, но имея при этом преимущество в логистике.
L
– перевалочная точка
Наконец, вариант СЗЛ означает, что спутник находится с противоположной стороны от Земли, чем Луна. И Земля, и Луна притягивают его в сторону центра масс системы Земля – Луна, т. е. в сторону центра вращения; притяжение Луны при этом сказывается слабо из-за большого расстояния до нее, но все же немного добавляет к притяжению в сторону центра масс (и главное – не утягивает спутник куда-то в сторону). Опять-таки требуется решить уравнение, говорящее, что совместное притяжение Земли и Луны позволяет обращаться вокруг Земли синхронно с Луной; этим однозначно определяется расстояние от центра масс (а потому и от центра Земли). Это точка L
на рис. 2.3. Она оказывается совсем немного дальше от центра масс (примерно в 1,017 раза дальше), чем Луна, но немного ближе к центру Земли, чем расстояние от него до Луны.
Разумеется, точки Лагранжа имеются не только в системе Земля – Луна. Неважно, как называются два массивных тела, – математика одна и та же, только относительные расстояния от центра до L
, L
и L
несколько различаются в зависимости от соотношения масс двух больших тел. В системе Солнце – Земля практически важны две точки Лагранжа: уже знакомая нам L
(дом для космических телескопов, как мы очень скоро увидим) и L
между Солнцем и Землей (рис. 2.4). Из точки L
в системе Солнце – Земля открывается ничем не затемняемый постоянный вид на Солнце с одного и того же расстояния, и там работают приборы, которые именно в этом и нуждаются. Среди них – космическая обсерватория по наблюдению Солнца SOHO (Solar and Heliospheric Observatory Satellite). Другой аппарат, ACE (Advanced Composition Explorer), использует особенности этой точки Лагранжа, пожалуй, в еще большей мере: находясь «вверх по течению» от Земли вдоль потока солнечного ветра, он в реальном времени передает данные о магнитном поле и о потоке частиц, летящих от Солнца, что позволяет уточнять прогнозы космической погоды – влияния Солнца на околоземное пространство (магнитосферу и ионосферу). На смену этому ветерану точки L
уже запущен аппарат DSCOVR (Deep Space Climate Observatory), по совместительству – автор известных фотографий, показывающих прохождение Луны на фоне Земли.
Рис. 2.4. Точки Лагранжа L
– L
в системе Солнце – Земля. Здесь изображено, по существу, то же самое, что на рис. 2.3, но для другой пары небесных тел. Луна на этом рисунке не играет никакой роли
Точка L
в системе Солнце – Земля (см. рис. 2.4) не нашла себе практических применений (и правда, чего ради стоило бы тащиться в такую даль?), но оказалась богатой темой для фантастических нарративов разного рода; не счесть замышляющих что-то инопланетян или других заговорщиков, желающих там обосноваться. Впрочем, трудно оспорить высказывание, что если какая-то развитая цивилизация [существует и] имеет цель не просто присутствовать в Солнечной системе, но еще и пребывать на фиксированном расстоянии от Земли и если при этом они желают оставаться на своем корабле, не высаживаясь на поверхность, но не хотят тратить много топлива, – то лучшего места, чем лагранжевы точки, не найти. Но на меня производит, пожалуй, большее впечатление не предполагаемый галактический заговор, а тот факт, что к моменту начала космических полетов они (эти зеленые человечки), без сомнения, открыли бы все пять этих точек, уж не знаю, как они там у них называются.
Впрочем, мы еще не знаем, что такое точки L
и L
, у нас открытые Лагранжем в дополнение к первым трем, известным Эйлеру. Определить их положение, когда ответ уже известен, легче легкого: измеряем расстояние от Солнца до Земли и воображаем равносторонний треугольник, одна из сторон которого как раз и соединяет Солнце и Землю (см. рис. 2.4). У равностороннего треугольника все стороны равны, поэтому расстояния от его третьей вершины до Солнца и до Земли одинаковы. Это важно! В этой вершине притяжение Солнца во столько раз сильнее, чем притяжение Земли, во сколько раз Солнце массивнее. А дальше следует несложное упражнение в геометрии: две такие силы притяжения складываются так, что в итоге тело в точке L
испытывает суммарную силу, направленную в точности к центру масс системы Солнце – Земля, а по величине эта сила ровно такая, чтобы поддерживать обращение вокруг этого центра масс на заданном расстоянии – на том самом, которое определяется из нашего треугольника. С точкой L
все то же самое, только если L
опережает Землю в ее движении вокруг Солнца, то L
отстает. Обе – на один и тот же угол в 60°.
Точки Лагранжа – это некеплеровы орбиты
Итог про точки Лагранжа: это такие положения в системе двух тел, где совместное притяжение этих тел способно поддерживать синхронное обращение малого третьего тела. Это ответ на заданный выше вопрос, но слово «точка», как мы видим, понимается тут несколько вольно: каждая из точек Лагранжа вообще-то задает орбиту, потому что вся картинка на рис. 2.4 вращается как единое целое; это буквально точка только для наблюдателя, который сам обращается вокруг общего центра масс – скажем, сидя на Земле, если мы говорим о системе Солнце – Земля. И еще я забыл сказать, что вся схема работает хорошо, когда орбиты в системе двух тел близки к круговым. И конечно, помещать на эти орбиты следует тела малой массы; такое условие означает, что притяжение этого третьего тела не должно оказывать обратного воздействия на два больших тела (Солнце и Землю в данном случае). И наконец, пояснения требует слово «поместить»: все тела, помещенные в какую-либо точку Лагранжа, должны быть разогнаны до необходимой скорости для движения по орбите, которую описывает выбранная точка Лагранжа, когда конфигурация, изображенная рис. 2.4, вращается как целое. Этого разгона совместное тяготение двух больших тел совсем никак не обеспечивает – но оно обеспечивает ровно такое притяжение к центру вращения, при котором тела, получившие подходящую скорость, могут оставаться на этой орбите.
*****
Гало-орбиты. Идея высадиться на обратной стороне Луне в начале 1970-х реализована не была, Сернан и Шмитт прилунились на «Аполлоне-17» на видимой стороне Луны и три дня ездили там на ровере; но китайский аппарат «Чанъэ-4», который в самом начале 2019 г. доставил луноход «Юйту-2» на обратную сторону Луны (рис. 2.5), вел связь через спутник «Цюэцяо», заблаговременно отправленный к той самой точке L
системы Земля – Луна, в каких-то 64 500 км за Луной. Здесь наконец пора дать обещанное уточнение про ретрансляционный спутник. Каждый раз, когда мы слышим про космический аппарат «в точке Лагранжа», надо представлять себе что-то вроде орбиты вокруг точки Лагранжа.
Рис. 2.5. Луноход «Юйту-2» на обратной стороне Луны. И его, и Землю постоянно видит ретрансляционный спутник, находящийся вблизи точки Лагранжа L
системы Земля – Луна
Дело в том, что с точками Лагранжа все-таки есть проблема: L
, L
и L
неустойчивы[30 - Это жаргон, которому непросто сопротивляться. Имеется в виду неустойчивость орбиты тела, помещенного в точку Лагранжа, – но изъясняться каждый раз с такими подробностями едва ли возможно.]. Карандаш может некоторое время стоять вертикально на вашем столе, но рано или поздно упадет по той или иной причине, например если вы откроете окно или из-за какой-то еще флуктуации. Для космического аппарата, помещенного в точку Лагранжа, причин для подобных флуктуаций – нарушений точного баланса положения, скорости и сил притяжения – хоть отбавляй (притяжение других тел в Солнечной системе оказывает воздействие, орбиты отличаются от круговых, скорость оказывается не идеально точной для пребывания в точке Лагранжа и т. д.). В результате аппарат начинает «сползать» – удаляться от математически определенной точки Лагранжа. Хотя события и будут развиваться намного медленнее, чем при опрокидывании карандаша, неустойчивость означает, что по мере сползания на космический аппарат действуют силы, уводящие его только дальше[31 - Пример обратной ситуации: шкаф, стоящий в вашей комнате, надо надеяться, устойчив, потому что малые наклоны не приводят к его опрокидыванию, наоборот – шкаф возвращается в исходное положение. Легкость «сваливания» из точки Лагранжа зависит от направления: при сдвиге в некоторых направлениях даже возникает сила, возвращающая тело к точке Лагранжа, но при этом сдвиг в любом другом направлении неизбежно ведет к сваливанию. Картина хорошо описывается термином «седловина»: высыпанная на седловую поверхность крупа скатится вниз не по всем направлениям, но при небольшой встряске в конце концов упадет вся.]. Поэтому начавшееся по любой причине сползание не исправится само; если там оказался астероид, то он со временем сдвинется куда-то прочь, а если мы (или инопланетяне) желаем, чтобы там оставалось какое-то устройство, то потребуются включения корректирующего двигателя. Да, некоторое количество топлива тратится, но очень небольшое – именно из-за того, что дело происходит вблизи точки равновесия с достаточно вяло проявляющей себя неустойчивостью. Космический аппарат, который время от времени заботится о своем положении, может поэтому описывать вокруг точки Лагранжа что-то вроде орбиты, но это орбита не в кеплеровском смысле, поскольку в сторону самой точки Лагранжа нет силы притяжения, а скорее контролируемый дрейф – сначала сползание в одну сторону, затем короткое включение двигателя для изменения направления движения, последующее сползание в несколько иную сторону и так далее. Китайский ретрансляционный спутник летал вокруг L
по такой орбите, чтобы Луна не загораживала ему вид на Землю. При взгляде с Земли эта орбита проходит снаружи от лунного диска, нигде не заходя за него, – как «гало» вокруг Луны. Поэтому такие орбиты иногда называют гало-орбитами.
Вариация на тему гало-орбит предполагается и для Лунной орбитальной платформы (Lunar Gateway) – международной космической станции «вблизи» Луны, создание которой планируется при ведущей роли NASA. Станция должна находиться на вытянутой гало-орбите, «чувствительной» к наличию обеих точек Лагранжа L
и L
, с максимальным приближением к поверхности Луны на 3000 км (что несколько меньше диаметра Луны) и максимальным удалением 70 000 км. Станция будет приближаться к Луне над ее северным полюсом, а уходить далеко – над южным, что на взгляд с Земли можно изображать как под южным: орбита «свисает вниз», почти перпендикулярно плоскости, в которой сама Луна обращается вокруг Земли, и уходя сильно ниже этой плоскости. Это одна из южных орбит в отношении Луны, южный полюс которой тоже «смотрит вниз», и в течение почти всего времени, за исключением коротких периодов прохода над северным полюсом, станция будет находиться в прямой (радио)видимости от предполагаемого места высадки на Луну вблизи ее южного полюса. Для периодических «исправлений» орбиты потребуются включения двигателя, сообщающие станции суммарное изменение скорости всего на 10 м/с за год.
Рис. 2.6. Траектория аппарата «Спектр-РГ», работающего вблизи точки Лагранжа L
системы Солнце – Земля, данные ИПМ им. М. В. Келдыша РАН [25]
Если говорить про систему Солнце – Земля, то окрестности точки L
оказываются идеальной «движущейся парковкой» – площадкой для астрономических наблюдений. Эта точка Лагранжа расположена на расстоянии 1,5 млн км от Земли – что в сто раз меньше расстояния от Земли до Солнца, но все же в четыре раза дальше, чем находится от нас Луна. Именно из L
системы Солнце – Земля изучали реликтовое излучение (космический микроволновой фон) аппараты WMAP и «Планк»[32 - Аппараты WMAP (NASA, 2001–2009) и «Планк» (Европейское космическое агентство ESA, 2009–2013) собрали фундаментальные данные о развитии Вселенной, сделав фактически «фотографию» ранней Вселенной, только-только остывшей до 3000 К, из-за чего электроны смогли удерживаться в атомах, а свет наконец смог распространяться. Мир не содержал тогда элементов тяжелее лития и ни единой звезды. Детали, которые испущенный в то время свет донес до космических аппаратов, выражаются в относительных вариациях в интенсивности величиной в несколько миллионных долей. Чтобы проводить измерения с такой чувствительностью, требовались тщательно продуманные условия.]. Относительно недавно там же поселился и «Спектр-РГ» – российско-германская астрофизическая обсерватория; аппарат, запущенный в июле 2019 г., за 100 дней добрался до окрестностей L
, а к середине апреля 2020 г. выполнил один оборот по орбите, которая проходит на расстоянии до 400 000 км от L
, перпендикулярно линии Солнце – Земля (рис. 2.6). Контроль за дрейфом в сторону от точки Лагранжа требует краткосрочных включений двигателя каждые 40–70 дней. В результате космический аппарат будет делать что-то вроде полного оборота в течение примерно полугода, поднимаясь над плоскостью земной орбиты и опускаясь под нее; траектория образует не очень аккуратный «моток» вокруг L
, мало похожий на строгий и совершенный эллипс[33 - Задачи аппарата «Спектр-РГ» – картирование Вселенной в рентгеновском диапазоне, наблюдение скоплений галактик и центральных черных дыр в галактиках, звезд и белых карликов, испускающих рентгеновское излучение. Возможности обсерватории должны существенно уточнить наше понимание эволюции Вселенной.].
Туда же, в окрестность точки L
системы Солнце – Земля, в январе 2022 г. добрался преемник знаменитого космического телескопа «Хаббл» – JWST[34 - James Webb Space Telescope, разработка NASA с участием ESA и Канадского космического агентства.]. Его задачи – наблюдать самые далекие от нас объекты во Вселенной (интересные нам в первую очередь из-за эффекта «машины времени», который мы обсуждаем на прогулке 5), следить за формированием звезд и планет, а также получать прямые изображения планет (и отдельно – взрывающихся звезд). Телескоп требуется держать очень холодным, и совокупность предъявляемых требований и определила положение для его устойчивого размещения внутри «круговорота» Солнечной системы. Для него выбрана гало-орбита, проходящая на расстоянии от 250 000 до 832 000 км от точки L
. Чтобы его солнечные батареи постоянно освещались, аппарат не должен попадать в тень, отбрасываемую Землей. При этом, однако, давление солнечного света на щит, защищающий телескоп от нагревания Солнцем, становится фактором воздействия, уводящим аппарат в сторону. Телескоп будет подправлять свое положение каждые три недели. Суммарное годовое изменение скорости, которое необходимо обеспечить, включая двигатель, составит от 2 до 4 м/с. Это чепуховые поправки по сравнению со скоростью движения самой L
вокруг Солнца, которая близка к скорости Земли в 30 000 м/с, и их малость определяется именно близостью аппарата к точке Лагранжа. То же самое верно, конечно, и в отношении аппаратов, наблюдающих за Солнцем и солнечным ветром «из точки» L
: ценой очень скромных затрат топлива они описывают вокруг этой точки Лагранжа несколько нерегулярные орбиты с характерными радиусами в несколько сотен тысяч километров.
*****
Греки и троянцы. Лагранж умер за 144 года до запуска первого искусственного спутника Земли, и не исключено, что он рассматривал пять специальных точек в системе двух тел как (всего лишь) математическое упражнение. Но нам, забравшимся на плечи гигантов, теперь видно, что интересная математика, возникающая при описании какой-либо реальной физической системы, – это почти гарантия обнаружения физического эффекта, в котором математическая достопримечательность тем или иным способом себя проявляет. И действительно, спустя более столетия после рассуждений Лагранжа астрономы начали открывать троянцев!
