Леонид Михайлович Мерцалов "Природа и свойства физического времени"

так как

Заметим, что потенциальная энергия вкладывается в рассматриваемый процесс лишь в течение половины периода T. Чтобы учесть это, запишем

что совпадает с предыдущим результатом.

в результате получим:

Для окончательной уверенности во всеобщности полученной зависимости решим третью простую задачу динамики, рассмотрев движение физического маятника, колеблющегося вокруг оси.

Определим период колебаний тела с постоянным весом P, центр тяжести которого C расположен на расстоянии r от оси вращения. Угол отклонения тела от положения равновесия ? будем считать малым, когда можно принять

Силу тяжести будем считать приложенной к телу в центре тяжести C.

Тогда

при малых углах, где Pt – тангенциальная составляющая веса тела. Момент этой силы по отношению к оси вращения

Под влиянием этого момента тело приобретает угловое ускорение

где J – момент инерции тела относительно оси О.

Подставляя значения ? и M, получим:

Полагая

получим:

Полученное уравнение также является уравнением гармонических колебаний с периодом

или в радианной мере

Подставив в уравнение для T значение ?, найдем:

Умножим числитель и знаменатель выражения на ?

и, учитывая также, что

получим:

Заметим, что

– путь, проходимый центром тяжести при колебаниях. Соответственно, r

 ? ?

 = x

, то есть

а

Отсюда

но

Так как и здесь потенциальная энергия вкладывается в процесс только в течение половины периода, запишем:

В итоге получим:

Сопоставим все три выражения, полученные из трех различных задач динамики:

Поскольку в двух последних случаях за время развития процесса потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую и обратно, а в первом случае (при торможении) кинетическая может переходить в тепловую, то есть в процессе могут участвовать различные виды энергии, обобщим найденные зависимости, записав:

где E – сторонняя энергия, участвующая в процессе.

Рассмотрим выражение

. Присутствие в нем меры инерции точки и квадрата расстояния, которое она проходит под действием приложенной силы, определяет степень противодействия массы m изменению ее в данном случае кинетической энергии. Размерность этой величины совпадает с размерностью момента инерции при вращении тела вокруг оси, поэтому естественно назвать величину

– обобщенным моментом инерции массы m.

Здесь хорошо видно, что масса есть численная характеристика степени противодействия сил инерции работе внешней силы.

В итоге для искомой функции получаем:

где

– временной интервал;

J – обобщенный момент инерции;

E – сторонняя энергия.

Заметим, что в нашем случае Е есть сторонняя энергия, относящаяся исключительно к отдельному процессу, рассматриваемому нами изолированно, поэтому ее соотношение с энергиями других процессов принципиально не рассматривается.

Система единиц выбирается всякий раз таким образом, чтобы не пришлось вводить ненужные коэффициенты.

Особо отметим, что момент инерции тела

легко преобразуется в случае колебательного движения тела в обобщенный момент инерции J.

Рассмотрим также случай, когда энергия извлекается из инерциального движения. В этом случае при торможении тела появляется сила инерции, которая производит работу против сил сопротивления движению. Несмотря на то что эта сила непосредственно выводится из рассматриваемого движения, в данном случае она все равно является сторонней силой и работа, производимая этой силой, также является работой сторонней силы. Объяснить это возможно следующими обстоятельствами. Во-первых, при истинно инерциальном движении тела в самом движении мы не можем обнаружить никаких побуждающих сил – ни внутренних, ни внешних. Во-вторых, сила инерции возникает лишь тогда, когда изменяется скорость тела, а это возможно в рассматриваемом случае лишь при внешнем изменении условий движения тела, т. е. при торможении. Сила инерции, которая и производит работу против сил сопротивления, тем самым определяется внешними причинами, хотя и действует в самом движении. Противодействие этой силы силам торможения становится возможным лишь потому, что тело имеет запас кинетической энергии, полученной вследствие того, что ранее сторонняя энергия была вложена в процесс движения. Отсюда видно, что изменение энергии, получающееся вследствие работы этой силы, есть изменение ранее вложенной сторонней энергии, извлекаемой в данном случае из движения. И всякий раз, когда мы вычисляем временной интервал, необходимо сопоставлять с этой энергией обобщенный момент инерции, соответствующий тем условиям, при которых именно эта энергия извлекается.

Необходимо отметить также, что мы рассматриваем здесь элементарные случаи вычисления временного интервала. В более сложных случаях, когда в одном и том же процессе происходит одновременное множественное преобразование вложенной энергии, выражение для него может содержать сумму элементарных процессов и состоять из нескольких отношений обобщенных моментов инерции к соответствующим им элементам вложенной энергии.