Пособие для подготовки к успешной сдаче ЕГЭ по математике базового уровня в 2024 году

Подставим известные величины R = 5 Ом и I = 7 А в формулу P = I²R, и найдем P:

P = 7²∙5 = 245.

Ответ: 245.

Пример 2 [3]

Условие

Среднее геометрическое трёх чисел: a, b и c – вычисляется по формуле . Вычислите среднее геометрическое чисел 5, 25 и 27.

Решение

Подставим известные величины a = 5, b = 25, c = 27 в формулу , и найдем g:

Ответ: 15.

Пример 3 [4]

Условие

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле , где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите площадь S, если d₁ = 4, d₂ = 3 и sin α = 5/6.

Решение

Подставим известные величины d₁ = 4,d₂ = 3 и sin α = 5/6 в формулу , и найдем S:

Ответ: 5.

Задание 5. Начала теории вероятностей

5.1. Общие вопросы

В спецификации контрольных измерительных материалов для проведения в 2024 году единого государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ (базовый уровень) в качестве проверяемого результата обучения применительно к заданию 5 указывается «умение вычислять в простейших случаях вероятности событий».

Уровень сложности – базовый.

Максимальный балл за выполнение задания – 1.

Примерное время выполнения задания выпускником (мин.) – 10.

Чтобы решить задание 5 по математике базового уровня необходимо знать:

• классическое определение вероятности,

• что такое противоположные события,

• определение несовместных событий,

• что такое пересечение несовместных событий.

Классическое определение вероятности

Вероятностью события A называется отношение числа благоприятных для A исходов к числу всех равновозможных исходов:

P(A) = m/n, где n – общее число равновозможных исходов, m – число исходов, благоприятствующих событию A.

Противоположные события

Событие, противоположное событию A, обозначают Ā. При проведении испытания всегда происходит ровно одно из двух противоположных событий и

P(A) + P(Ā) = 1; P(Ā) = 1–P(A).

Определение несовместных событий

Два события A и B называются несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятные одновременно как событию A, так и событию B.

Событие C означает, что произошло хотя бы одно из событий A и B (пишут C = A∪B).

Если события A и B несовместны, то вероятность их объединения равна сумме вероятностей событий A и B:

P(A∪B) = P(A) + P(B)

Пересечение независимых событий

Два события A и B называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от произойдет или не произойдет другое событие.

Событие C называют пересечение событий A и B (пишут C = A∩B), если событие C означает, что произошли оба события A и B.

Если события A и B независимы, то вероятность их пересечения равна произведению вероятностей событий A и B:

P(A∩B) = P(A)∙P(B)

Определить из условия задачи необходимые величины.

Подставить значения и вычислить вероятность.

5.2. Примеры заданий и методика их выполнения

Пример 1 [3]

Условие

В чемпионате по прыжкам в воду участвуют 35 спортсменов: 7 из России, 12 из Китая, 9 из Японии и 7 из США. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из России.

Решение

В данной задаче применимо классическое определение теории вероятности. Таким образом, n = 35 (общее число равновозможных исходов), m = 7 (число исходов, благоприятствующих событию A), так как по условию и России учувствует 7 спортсменов. Следовательно, запишем решение задачи:

P(A) = 7/35 = 1/5 = 0,2.

Ответ: 0,2.

Пример 2 [3]

Условие

Из каждых 100 лампочек, поступающих в продажу, в среднем 3 неисправны. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампочка окажется исправной?

Решение

1. Для начала вычислим количество исправных лампочек:

100–3 = 97.

2. Таким образом, мы понимаем, что из 100 лампочек 97 исправны и 3 неисправны, т.е., n = 100, а m = 97. Тогда воспользовавшись формулой классической теории вероятности, найдем решение задачи:

P(A) = 97/100 = 0,97.

Данную задачу можно решить еще одним способом.

1. Найдём вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампочка окажется неисправной:

P(A) = 3/100 = 0,3.

2. А так как нам нужно найти вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампочка окажется исправной, т.е., событие, противоположное событию P(A), то воспользуемся формулой для нахождения события, противоположного данному:

P(Ā) = 1–0,3 = 0,97.

Ответ: 0,97.

Пример 3 [4]

Условие

Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 50 докладов: первые два дня – по 13 докладов, остальные доклады распределены поровну между третьим и четвёртым днями. На конференции планируется доклад профессора К. Порядок докладов определяется случайным образом. Какова вероятность того, что доклад профессора К. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение

1. Выясним, сколько докладов будет представлено в каждый из 4-х дней конференции (так как всего запланировано 50 докладов: первые два дня – по 13 докладов, остальные доклады распределены поровну между третьим и четвёртым днями, то в третий и четвёртый день будет представлено по (50–13–13) : 2 = 12 докладов). Выпишем подробнее:

• в первый день – 13;

• во второй день – 13;

• в третий день – 12;

• в четвертый день – 12.

2. Воспользуемся формулой классической теории вероятности. В данном случае n = 50, а m = 12:

P(A) = 12/50 = 0,24.

Ответ: 0,24.

Задание 6. Выбор оптимального варианта

6.1. Общие вопросы

В спецификации контрольных измерительных материалов для проведения в 2023 году единого государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ (базовый уровень) в качестве проверяемого результата обучения применительно к заданию 6 указывается «умение извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках».

Уровень сложности – базовый.

Максимальный балл за выполнение задания – 1.

Примерное время выполнения задания выпускником (мин.) – 11.

Чтобы решить задание 6 по математике базового уровня необходимо уметь:

• собирать комплект,

• выбирать наилучший варианта из двух/трех/четырех возможных вариантов.

6.2. Примеры заданий и методика их выполнения

Пример 1 [3]

Условие

Для обслуживания международного семинара необходимо собрать группу переводчиков. Сведения о кандидатах представлены в таблице.

Пользуясь таблицей, соберите хотя бы одну группу, в которой переводчики вместе владеют четырьмя иностранными языками: английским, немецким, французским и испанским, а суммарная стоимость их услуг не превышает 12 000 рублей в день.

В ответе укажите какой-нибудь один набор номеров переводчиков (без пробелов, запятых и других дополнительных символов)

Решение

Для решения данного задания необходимо собрать комплект из четырех переводчиков, при этом суммарная стоимость их услуг не должна превышать 12 000 рублей в день. Таким образом, переберем все возможные варианты:

• 1 (Немецкий, испанский), 3 (Английский), 5 (Французский): 7000 + 3000 + 2000 = 12000;

• 1 (Немецкий, испанский), 4 (Английский, французский): 7000 + 6000 = 13000;

• 2 (Английский, немецкий), 5 (Французский), 6 (Испанский): 6000 + 2000 + 4000 = 12000.

Другие комбинаций составить невозможно.

Очевидно, нам подходят комбинация 135 и 256. При этом ответ предполагает любую из данных комбинаций, также цифры могут быть тоже записаны в любом порядке.

Ответ: 135 < или > 153 < или > 315 < или > 513 < или > 531 < или > 256 < или > 265 < или > 526 < или > 562 < или > 625 < или > 652.

Пример 2 [3]

Условие

В таблице приведены данные о шести чемоданах.

По правилам авиакомпании сумма трёх измерений (длина, высота, ширина) чемодана, сдаваемого в багаж, не должна превышать 203 см, а масса не должна быть больше 23 кг. Какие чемоданы можно сдать в багаж по правилам этой авиакомпании? В ответе укажите номера всех выбранных чемоданов (без пробелов, запятых и других дополнительных символов).

Решение

В первую очередь необходимо выбрать чемоданы, вес которых удовлетворяет условию, т.е., не больше 23 кг. Это чемоданы под номером 1, 3, 5 и 6. После чего выполним сложение их величин (длины, ширины и высоты) и сравним с числом 203:

Чемодан № 1: 65 + 40 + 25 = 130 < 203

Чемодан № 3: 92 + 80 + 36 = 208 > 203

Чемодан № 5: 83 + 65 + 48 = 196 < 203

Чемодан № 6: 95 + 75 + 42 = 212 > 203

Таким образом, нам подходят чемодан под номером 1 и 5.

Ответ: 15 < или > 51.

Пример 3 [3]

Условие

Строительная фирма планирует купить 70 м³ пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице.

Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?

Решение

Поочерёдно вычислим сколько нужно будет заплатить каждому из поставщиков за 70 м³ пеноблоков:

Поставщик А: 2600∙70 = 182000

С учётом доставки: 182000 + 10000 = 192000

Поставщик Б: 2800∙70 = 196000

Доставка бесплатная, так как сумма товара свыше 150000

Поставщик В: 2700∙70 = 189000

С учётом доставки: 189000 + 8000 = 197000.

Очевидно, что самый дешёвый вариант – это заказать 70 м³ пеноблоков у поставщика А за 192000 руб.

Ответ: 192000.

Пример 4 [4]

Условие

Рейтинговое агентство определяет рейтинг электрических фенов для волос на основе средней цены P (в рублях за штуку), а также показателей функциональности F, качества Q и дизайна D. Рейтинг R вычисляется по формуле

R = 3(F + Q) + D–0,01P.

В таблице даны цены и показатели четырёх моделей фенов.

Найдите наименьший рейтинг фена из представленных в таблице моделей.

Решение

Поочерёдно вычислим рейтинг каждого представленного в таблице фена:

Фен А: R = 3(3 + 4) + 2–0,01∙2100 = 23–21 = 2

Фен Б: R = 3(4 + 3) + 1–0,01∙2200 = 22–22 = 0

Фен В: R = 3(4 + 3) + 0–0,01∙2000 = 21–20 = 1

Фен Г: R = 3(2 + 4) + 1–0,01∙1700 = 19–17 = 2.

Наименьший рейтинг у фена Б, он равен 0.

Ответ: 0.

Задание 7. Анализ графиков и диаграмм

7.1. Общие вопросы

В спецификации контрольных измерительных материалов для проведения в 2024 году единого государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ (базовый уровень) в качестве проверяемого результата обучения применительно к заданию 7 указывается «умение оперировать понятиями: функция, непрерывная функция, производная, определять значение функции по значению аргумента; описывать по графику поведение и свойства функции».

Уровень сложности – базовый.

Максимальный балл за выполнение задания – 1.

Примерное время выполнения задания выпускником (мин.) – 7.

Чтобы решить задание 7 по математике базового уровня необходимо знать:

• что такое линейная функция и её график;

• что такое производная функции;

• геометрический смысл производной;

• как исследовать график функции.

Линейная функция

Линейная функция (прямая) имеет вид y = kx + b, где k – угловой коэффициент, который характеризует угол, который образует прямая y = kx + b положительным направлением оси Ох. Если k > 0, то этот угол острый; если k < 0, то – тупой; если k = 0, то прямая параллельна оси Ох или совпадает с ней.

Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательной с положительным направлением оси абсцисс k = tg α, где α – угол наклона касательной.

Также для удобства составим таблицу, которая будет демонстрировать зависимость коэффициента k от угла наклона прямой:

Производная функции

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю и если этот предел существует

Геометрический смысл производной функции

Знание углового коэффициента касательной к графику функции позволяет ответить на некоторые вопросы при исследовании функции.

Значение производной функции y = f(x) в точке x₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x₀:

f^'(x) = k.

Если производная функции y = f(x) в точке x₀ равна нулю, то касательная, проведенная к графику этой функции в точке с абсциссой x₀, параллельна оси абсцисс или совпадает с ней. Так как угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательной с положительным направлением оси абсцисс k = tg α, то

f^'(x₀ ) = tg α.

Исследование функции

Промежутки монотонности функции (промежутки возрастания и убывания функции)

Функция y = f(x) называется возрастающей на интервале (a;b), если для любых x₁ и x₂ из этого интервала таких, что x₁ < x₂, справедливо неравенство f(x₁) < f(x₂).

Функция y = f(x) называется убывающей на интервале (a;b), если для любых x₁ и x₂ из этого интервала таких, что x₁ < x₂, справедливо неравенство f(x₁) > f(x₂).

Точки экстремума (точки максимума и минимума функции)

Точка x_max области определения функции называется точкой максимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство f(x) < f(x_max). Значение y_max = f(x_max) называется максимумом этой функции.

Точка x_min области определения функции называется точкой минимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство f(x) > f(x_min). Значение y_max = f(x_min) называется минимумом этой функции.

7.2. Примеры заданий и методика их выполнения

Пример 1 [4]

Условие

На рисунках изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и значениями их производной в точке x = 1.

ГРАФИКИ

ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

1) 0,75