P = 7
?5 = 245.
Ответ: 245.
Пример 2 [3]
Условие
Среднее геометрическое трёх чисел: a, b и c – вычисляется по формуле
. Вычислите среднее геометрическое чисел 5, 25 и 27.
Решение
Подставим известные величины a = 5, b = 25, c = 27 в формулу
, и найдем g:
Ответ: 15.
Пример 3 [4]
Условие
Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле
, где d
и d
– длины диагоналей четырёхугольника, ? – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите площадь S, если d
= 4, d
= 3 и sin ? = 5/6.
Решение
Подставим известные величины d
= 4,d
= 3 и sin ? = 5/6 в формулу
, и найдем S:
Ответ: 5.
Задание 5. Начала теории вероятностей
5.1. Общие вопросы
В спецификации контрольных измерительных материалов для проведения в 2024 году единого государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ (базовый уровень) в качестве проверяемого результата обучения применительно к заданию 5 указывается «умение вычислять в простейших случаях вероятности событий».
Уровень сложности – базовый.
Максимальный балл за выполнение задания – 1.
Примерное время выполнения задания выпускником (мин.) – 10.
Чтобы решить задание 5 по математике базового уровня необходимо знать:
• классическое определение вероятности,
• что такое противоположные события,
• определение несовместных событий,
• что такое пересечение несовместных событий.
Классическое определение вероятности
Вероятностью события A называется отношение числа благоприятных для A исходов к числу всех равновозможных исходов:
P(A) = m/n, где n – общее число равновозможных исходов, m – число исходов, благоприятствующих событию A.
Противоположные события
Событие, противоположное событию A, обозначают A. При проведении испытания всегда происходит ровно одно из двух противоположных событий и
P(A) + P(A) = 1; P(A) = 1–P(A).
Определение несовместных событий
Два события A и B называются несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятные одновременно как событию A, так и событию B.
Событие C означает, что произошло хотя бы одно из событий A и B (пишут C = A?B).
Если события A и B несовместны, то вероятность их объединения равна сумме вероятностей событий A и B:
P(A?B) = P(A) + P(B)
Пересечение независимых событий
Два события A и B называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от произойдет или не произойдет другое событие.
Событие C называют пересечение событий A и B (пишут C = A?B), если событие C означает, что произошли оба события A и B.
Если события A и B независимы, то вероятность их пересечения равна произведению вероятностей событий A и B:
P(A?B) = P(A)?P(B)
Определить из условия задачи необходимые величины.
Подставить значения и вычислить вероятность.
5.2. Примеры заданий и методика их выполнения
Пример 1 [3]
Условие
В чемпионате по прыжкам в воду участвуют 35 спортсменов: 7 из России, 12 из Китая, 9 из Японии и 7 из США. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из России.
Решение
В данной задаче применимо классическое определение теории вероятности. Таким образом, n = 35 (общее число равновозможных исходов), m = 7 (число исходов, благоприятствующих событию A), так как по условию и России учувствует 7 спортсменов. Следовательно, запишем решение задачи:
P(A) = 7/35 = 1/5 = 0,2.
Ответ: 0,2.
Пример 2 [3]
Условие
Из каждых 100 лампочек, поступающих в продажу, в среднем 3 неисправны. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампочка окажется исправной?
Решение
1. Для начала вычислим количество исправных лампочек:
100–3 = 97.
2. Таким образом, мы понимаем, что из 100 лампочек 97 исправны и 3 неисправны, т.е., n = 100, а m = 97. Тогда воспользовавшись формулой классической теории вероятности, найдем решение задачи:
