Николай Иванович Конон "Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера"

,…a

} и множества B = {b

, b

, b

,…b

}. (2.2)

Очевидно C = AUB.

Для нашего примера эти множества будут

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.

Парные элементы приведенных множеств также удовлетворяют свойствам 1) – 8). Очевидно, что мощности обоих множеств |A| и |B| одинаковы и равны n.

Следует заметить, что эти множества взаимосвязаны, при чем, элементы в указанных множествах имеют взаимно однозначное соответствие одного множества к другому, и они в совокупности составляют симметричные пары (a

, b

).

Действительно, имеем a

= n–1, a

= n – 2, a

= n – 3, …a

= n – i, …….. a

= 3, a

= 2, a

= 1, a

= 0, и b

= n + 1, b

= n + 2, b

= n + 3, …….. b

= n + i,……. b

= n + n – 1, b

= n + n, то есть, такое взаимное соответствие можно выразить следующей зависимостью

a

= n – i,b

= n + i, (2.3)

где i = 1,2,3, …….n.

Следовательно, для симметричных пар выражение (1.5) поэлементного соответствия будет выглядеть

a

+ b

= 2n и b

– a

= 2i, (2.4)

где i = 1,2,3, …….n.

Отсюда видим, что шаг симметрии равен номеру симметричной пары, т.е. ?=i.

Анализируя выражения (2.3) и (2.4), можно видеть, что множества A и B в свою очередь состоят из подмножеств нечетных и четных чисел, т.е. можно записать

A = nch

U ch

;

B = nch

U ch

, (2.5)

где nch

и ch

– подмножества нечетных и четных чисел множества A;

nch

и ch

– подмножества нечетных и четных чисел множества B.

Для указанного выше примера, имеем

nch

= {1, 3, 5, 7, 9} и ch

= {0, 2, 4, 6, 8}.

nch

= {11, 13, 15, 17, 19} и ch

= {12, 14, 16, 18, 20}.

Очевидно, и это не требует доказательств, что мощности подмножеств |nch

| и |ch

| одинаковы, т.е. равны. Также можно сказать и о подмножествах |nch

| и |ch

|, мощности которых также равны между собой.

Легко видеть, что мощности четных подмножеств |ch

| и |ch

| равны друг другу, и мощности для нечетных подмножеств |nch

| и |nch

| также равны друг другу, при этом само число n, являющееся центром симметрии, и ни в какие множества не входит.