Николай Иванович Конон "Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера"

………

n

{(n–1,n+1), (n–2,n+2),……(1, n+n-1), (0, n+n)}

1,2,3,.…n–1,n

где a и b – симметричные пары для числа n.

Очевидно, и исходя из свойств натуральных чисел, что числовое расстояние ?, равное половине размаха симметричной пары (см. 1.7), изменяется от 1 до n, и по значению не больше самого числа n.

Назовем числовое расстояние ? шагом симметричной пары (шагом симметрии), который меняется

? = (1,2,3,……… n). (1.8)

Из свойства 6 и выражения (1.6), очевидно, что размах симметричной пары равен удвоенному значению шага симметрии.

Исходя из данного определения и исследованных выше свойств симметричных пар, сформулируем следующую лемму.

Лемма 1: Любое натуральное число n, начиная с числа 1, имеет симметричные пары в количестве, равном самому значению натурального числа.

Доказательство. Из свойств натуральных чисел N

известно, что они являются арифметической прогрессией, такой при которой любое натуральное число можно записать в виде

n

= n

+ 1, (1.9)

Исходя из вышесказанного в (1.9) можно записать

n

= n

+ ?, (1.10)

где ? число равное 1, 2, 3.….

Тогда можно записать, что и

n

= n

– ?. (1.11)

Отсюда имеем

n

= n

+ ?. (1.12)

Следовательно, из (1.8) и (1.9) получаем

n

– n

= n

– n

= ?. (1.13)

Далее если принять n

= b, n

= a, n

= n, то в новых обозначениях можно записать

n – a = b – n = ?. (1.14)

Таким образом, мы получили выражение (1.2), откуда следует (1.3), т.е.

a = n – ?; b = n + ?.

Ввиду того, что ? = 1, 2, 3.…. n, получаем количество пар a и b равное n. Так как указанные пары удовлетворяют свойствам 1) – 8), следует, что они симметричны, а это и доказывает лемму.

В результате, выше определено понятие симметричных пар и их шаг симметрии, которые представляют особый интерес исследования настоящей работы.

2. Исследование множеств симметричных пар

Рассмотрим множество C симметричных пар числа n, такое что,

C = {a

,…a

,…a

,a

, a

, b

, b

, b

,… b

…b

}, (2.1)

где a

, b

. – симметричные пары, удовлетворяющие свойствам 1) – 8).

Для примера рассмотрим число 10. Тогда множество C симметричных пар числа 10 будет C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

Представим множество симметричных пар C в виде двух других множеств A и B, которые состоят из множества

A = {a

, a

, a