области определения функции называется точкой максимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство f(x) < f(x
). Значение y
= f(x
) называется максимумом этой функции.
Точка x
области определения функции называется точкой минимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство f(x) > f(x
). Значение y
= f(x
) называется минимумом этой функции.
7.2. Примеры заданий и методика их выполнения
Пример 1 [4]
Условие
На рисунках изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и значениями их производной в точке x = 1.
ГРАФИКИ
ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
1) 0,75
2) –0,2
3) 3
4) –5
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение
Данное задание можно решить наглядно, найдя значение производной. Затем учесть, что оно равно угловому коэффициенту касательной, проведённой в этой точке. Так как угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательной с положительным направлением оси абсцисс k = tg ?, то мы можем достроить все прямые до прямоугольного треугольника и найти тангенс угла наклона:
Так тангенс прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к прилежащему, найдем поочерёдно значение k для каждой из прямых:
А) k = 3/1 = 3, так как 45° < ? < 90°, k < –1, следовательно k = 3
Б) k = 5/1 = 5, так как 90° < ? < 135°, k < –1, следовательно k = –5
В) k = 3/3 = 0,75, так как 0° < ? < 45°, k < –1, следовательно k = 0,75
Г) k = 1/5 = 0,2, так как 135° < ? < 180°, – 1 < k < 0, следовательно k = –0,2
Заполним таблицу:
Ответ: 3412.
Пример 2 [3]
Условие
На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами A, B, C и D.
В правом столбце указаны значения производной функции в точках A, B, C и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение
Так как значение производной равно угловому коэффициенту касательной, проведённой в этой точке. Поэтому определим угловые коэффициенты для каждой из прямых. Для удобства пронумеруем их на рисунке и покажем угол наклона каждой прямой с положительным направлением оси Ox:
Составим таблицу, в которой определим коэффициент угла наклона каждой прямой
Заполним таблицу:
Ответ: 2143.
Пример 3 [3]
Условие
Установите соответствие между графиками функций и характеристиками этих функций на отрезке [-1; 1].
ХАРАКТЕРИСТИКИ
1) Функция имеет точку максимума на отрезке [1; 1].
2) Функция имеет точку минимума на отрезке [1; 1].
3) Функция возрастает на отрезке [1; 1].
4) Функция убывает на отрезке [1; 1].
