Оператор Адамара $H^ {n} $ является важной частью формулы $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $. Он создает начальное состояние системы кубитов и подготавливает их для последующих операций в формуле.
Оператор Адамара $H^ {n} $ для системы из $n$ кубитов
Определение оператора Адамара ($H^ {n} $) для системы из $n$ кубитов в формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $:
Оператор Адамара $H^ {n} $ применяется ко всем $n$ кубитам в системе и приводит каждый кубит в равновероятное суперпозиционное состояние.
Математически, оператор Адамара для системы из $n$ кубитов ($H^ {n} $) задается следующим выражением:
$$H^ {n} = \frac {1} {\sqrt {2^n}} \sum_ {\boldsymbol {y}} (-1) ^ {\boldsymbol {x} \cdot \boldsymbol {y}} |\boldsymbol {y} \rangle,$$
где:
– $\boldsymbol {y} $ – битовые строки длины $n$.
– $\boldsymbol {x} \cdot \boldsymbol {y} $ – скалярное произведение битовых строк $\boldsymbol {x} $ и $\boldsymbol {y} $.
– $|\boldsymbol {y} \rangle$ – состояние кубитов, соответствующее битовой строке $\boldsymbol {y} $.
Оператор Адамара $H^ {n} $ применяется к каждому кубиту в системе и приводит его в равновероятное суперпозиционное состояние $\frac {1} {\sqrt {2}} (|0\rangle + |1\rangle) $. Это значит, что каждый кубит имеет вероятность 1/2 быть измеренным в состоянии $|0\rangle$ и вероятность 1/2 быть измеренным в состоянии $|1\rangle$.
Оператор Адамара является важным элементом формулы $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $ и используется для преобразования состояний кубитов в начальной и конечной стадиях формулы. Он создает начальное состояние системы кубитов и играет важную роль в обработке и манипуляции с квантовой информацией.
Описание оператора Адамара в виде суммы последовательностей битовых строк
Оператор Адамара ($H^ {n} $) для системы из $n$ кубитов можно также представить в виде суммы последовательностей битовых строк.
Математически, оператор Адамара $H^ {n} $ может быть записан следующим образом:
$$H^ {n} = \frac {1} {\sqrt {2^ {n}}} \sum_ {\boldsymbol {y}} (-1) ^ {\boldsymbol {x} \cdot \boldsymbol {y}} |\boldsymbol {y} \rangle,$$
где:
– $\boldsymbol {y} $ – битовые строки длины $n$.
– $\boldsymbol {x} \cdot \boldsymbol {y} $ – скалярное произведение битовых строк $\boldsymbol {x} $ и $\boldsymbol {y} $.
– $|\boldsymbol {y} \rangle$ – состояние кубитов, соответствующее битовой строке $\boldsymbol {y} $.
Оператор Адамара выражается в виде суммы последовательностей битовых строк и может быть представлен следующим образом:
$$H^ {n} = \frac {1} {\sqrt {2^n}} \sum_ {\boldsymbol {y}} (-1) ^ {\boldsymbol {x} \cdot \boldsymbol {y}} |\boldsymbol {y} \rangle,$$
где каждая битовая строка $\boldsymbol {y} $ пробегает все возможные комбинации подходящего размера $n$. Значение $ (-1) ^ {\boldsymbol {x} \cdot \boldsymbol {y}} $ вносит фазовый фактор в каждый элемент суперпозиции.
Оператор Адамара $H^ {n} $ применяется к каждому кубиту в системе, преобразуя его в состояние с равными вероятностями $|0\rangle$ и $|1\rangle$. Это обеспечивает создание равновероятных суперпозиций в системе из $n$ кубитов.
Определение операции сложения по модулю 2
Определение операции сложения по модулю 2 в формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $:
Операция сложения по модулю 2 $ (\boldsymbol {x} + \boldsymbol {p}) \bmod 2$ выполняется побитово для каждого бита входного вектора $\boldsymbol {x} $ и соответствующего ему бита вектора $\boldsymbol {p} $. Результат этой операции используется для изменения состояния каждого кубита в системе.
Входные данные $\boldsymbol {x} $ представлены в виде битовой последовательности, где каждый бит принимает значение 0 или 1. Вектор $\boldsymbol {p} $ также представляет собой битовую последовательность той же длины.
Операция сложения по модулю 2 выполняется следующим образом:
– Если соответствующие биты векторов $\boldsymbol {x} $ и $\boldsymbol {p} $ имеют одно и то же значение (ноль или единицу), то результатом сложения будет ноль.
– Если соответствующие биты имеют разные значения, то результатом будет единица.
Операция сложения по модулю 2 $ (\boldsymbol {x} + \boldsymbol {p}) \bmod 2$ «складывает» каждый бит входного вектора $\boldsymbol {x} $ с соответствующим битом вектора $\boldsymbol {p} $ и возвращает результат в виде нового вектора. Результат этой операции используется для изменения состояния каждого кубита в системе перед повторным применением оператора Адамара.
Операция сложения по модулю 2 ($\bmod 2$) для битовой последовательности
Операция сложения по модулю 2 ($\bmod 2$) для битовой последовательности является операцией, где биты двух последовательностей складываются побитово и результат возвращается в виде новой последовательности.
Для каждого бита входной битовой последовательности, выполняется сложение с соответствующим битом другой битовой последовательности. Результатом сложения будет бит, который будет равен 0, если сумма битов равна четному числу, и 1, если сумма битов равна нечетному числу.
Например, для двух битовых последовательностей $\boldsymbol {x} $ и $\boldsymbol {p} $ длины $n$, операция сложения по модулю 2 выполняется следующим образом:
$ (\boldsymbol {x} + \boldsymbol {p}) \bmod 2 = (x_1 + p_1) \bmod 2, (x_2 + p_2) \bmod 2, …, (x_n + p_n) \bmod 2$.
Каждый бит результирующей последовательности $ (\boldsymbol {x} + \boldsymbol {p}) \bmod 2$ будет равен 0 или 1 в зависимости от суммы соответствующих битов входных последовательностей $\boldsymbol {x} $ и $\boldsymbol {p} $.
Описание операции $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $
Применение оператора Адамара ($H^ {n} $)
Оператор Адамара $H^ {n} $ применяется ко всем кубитам в системе и выполняет следующие действия:
1. Каждый кубит приводится в состояние суперпозиции, где вероятности нахождения в состоянии $|0\rangle$ и $|1\rangle$ равны.
2. Для получения произведения оператор Адамара применяется к каждому кубиту в системе.
Оператор Адамара $H^ {n} $ может быть записан следующим образом:
$$H^ {n} = \frac {1} {\sqrt {2^ {n}}} \sum_ {\boldsymbol {y}} (-1) ^ {\boldsymbol {x} \cdot \boldsymbol {y}} |\boldsymbol {y} \rangle,$$
где:
– $\boldsymbol {y} $ – битовые строки длины $n$,
– $\boldsymbol {x} \cdot \boldsymbol {y} $ – скалярное произведение битовых строк $\boldsymbol {x} $ и $\boldsymbol {y} $,
– $|\boldsymbol {y} \rangle$ – состояние кубитов, соответствующее битовой строке $\boldsymbol {y} $.
Применение оператора Адамара $H^ {n} $ в формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $ приводит каждый кубит в суперпозицию состояний $|0\rangle$ и $|1\rangle$, равновероятных состояний. Это означает, что каждый кубит имеет вероятности $1/2$ быть измеренным в состоянии $|0\rangle$ и $|1\rangle$.
Применение оператора Адамара является ключевым шагом в формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $, поскольку он подготавливает систему кубитов в равновероятное суперпозиционное состояние, подготавливая её для последующей операции сложения по модулю 2 и повторного применения оператора Адамара.
Описание действия оператора Адамара на каждый кубит системы
Оператор Адамара $H^ {n} $ применяется к каждому кубиту в системе и выполняет следующие действия:
1. Каждый кубит приводится в суперпозицию состояний $|0\rangle$ и $|1\rangle$.
2. Применяется оператор Адамара к каждому кубиту в системе.
После применения оператора Адамара к каждому кубиту, каждый кубит находится в равновероятной суперпозиции состояний $|0\rangle$ и $|1\rangle$. Это означает, что вероятности нахождения каждого кубита в состоянии $|0\rangle$ и $|1\rangle$ равны $1/2$.
