Nikolay Morozov "Виды информации и ИТ ее обработки. Серия «Информатика и ИТ»"

= 251.468

Правила перевода десятичного числа в иную систему счисления

– Целую часть числа последовательно делить нацело на основание системы счисления. «Собрать» остатки от деления, начиная с остатка от последнего.

– Дробную часть числа последовательно умножать на основание системы счисления, «сдвигая» целую часть произведений и продолжая умножение только дробной части, до заданной точности. «Собрать» целые части произведений, начиная с первого.

– При переводе в шестнадцатеричную систему счисления перевести значения результирующих цифр в шестнадцатеричные.

– Записать число (целую и дробную часть) и указать систему счисления.

Рассмотрим пример использования данного алгоритма для перевода числа 3338,78 в шестнадцатеричную систему счисления с точностью до четырех знаков после запятой

Из таблицы кодирования: 13= D

; 10=A

; 11=B

; 14=E

После выполнения преобразований 3338,78 в десятичной системе счисления записывается как D0A, BAE1

Итак, 3338,78= D0A, BAE1

Связь двоичной, восьмиричной и шестнадцатиричной систем счисления

Между системами счисления с основаниями 2, 8 и 16 существует связь, позволяющая легко переводить числа из одной системы в другую, используя следующий метод:

В двоичном числе от десятичной запятой вправо и влево выделять группы цифр по три – для перевода в восьмеричную и по четыре – для перевода в шестнадцатеричную (такие группы называются соответственно триадами и тетрадами). Если в конечных группах будет недостаточно цифр, то в группы следует добавить нули.

Каждую группу независимо от других перевести в одну соответственно восьмеричную или шестнадцатеричную цифру. Для обратного перевода (из восьмеричной или шестнадцатеричной – в двоичную) нужно проделать обратную операцию – каждую цифру вправо и влево заменить группой соответственно из трех или четырех двоичных знаков.

1.2. Представление чисел в компьютере

Современный персональный компьютер позволяет работать с разнообразными данными: числами, символьными данными (текстом), графическими данными, звуковыми данными.

Все данные в компьютере хранятся и обрабатываются в унифицированном (единообразном) виде – двоичном цифровом коде. Требуется это для того, чтобы большое количество различных видов данных можно было обрабатывать одним устройством.

Числа, используемые человечеством, представляют бесконечно непрерывный ряд, различаются на положительные и отрицательные числа, целые и дробные, рациональные и иррациональные. Реализовать представление такого бесконечного множества в технических устройствах невозможно. Необходимы ограничения, как диапазона, так и точности представления чисел, система компьютерного представления чисел конечна и дискретна. В компьютерах размеры ячеек памяти (регистров) фиксированы, причем ограничения налагаются и на диапазон, и на точность представления чисел. Кроме того целесообразно представлять числа в той форме, на которую требуется меньшее количество компьютерной памяти.

При разделении записи числа на составляющие (знак числа, значение числа, знак порядка, значение порядка) легче перейти к конечной и дискретной форме, необходимой для представления в компьютере.

Любое действительное число можно записать в нормальной форме:

1.3. Компьютерная арифметика. Булевы функции

Компьютерная арифметика

В двоичной системе, как и в любой системе счисления возможны все арифметические операции: сложение, вычитание, умножение, деление.

При этом целочисленное представление чисел позволяет применить правила непосредственно к хранящимся данным. Использование представления с плавающей точкой в операциях сложения и вычитания требует предварительного выравнивания порядков чисел-операндов, и результат вычислений подвергается нормализации. При умножении и делении вещественных чисел порядок результата вычисляется соответственно сложением (вычитанием) порядков операндов, а мантисса – перемножением (делением) мантисс операндов.

Сложение. Правила сложения двоичных чисел те же, что в десятичной системе счисления, только каждый разряд суммы может принимать одно из двух значений – ноль или единица. Точно так же, как и в десятичной системе, для сложения чисел их удобно записать в столбик.

Сложение чисел нужно производить поразрядно, начиная с младшего разряда. При этом применяются следующие правила:

При сложении двух единиц мы получим ноль в текущем разряде и единицу переноса в старший разряд. Образующийся дополнительный бит называется битом переноса. Если бит переноса выходит за отведенное количество разрядов хранения числа, он оказывается утерянным.

Умножение. Умножение двоичных чисел, также схоже на умножение десятичных. Вот пример умножения двоичных чисел столбиком.

Точно так же, как и при умножении двоичных чисел, мы умножаем первое число на каждый разряд второго и записываем полученные результаты под первой чертой, одно под другим со сдвигом. Затем полученные промежуточные результаты складываем с учетом сдвига. Однако в случае с двоичными числами имеется одно существенное отличие. Так как любой разряд двоичного числа либо ноль, либо единица, то промежуточное умножение сильно облегчается. В самом деле, любое число, умноженное на единицу, равно самому себе. Любое число, умноженное на ноль, равно нулю. Именно поэтому умножение двух двоичных чисел сводится к операциям сдвига и сложения. Это очень важно для построения вычислительных машин. Для реализации операций сложения и умножения нужны только сумматоры и сдвиговые регистры.

Вычитание и деление. Для того чтобы упростить (для машинной обработки) операцию вычитания, был придуман так называемый «дополнительный код». Можно сказать, что при помощи этого кода записываются отрицательные числа. Чтобы записать двоичное число в дополнительном коде:

– необходимо инвертировать все его разряды (т.е. перевести число в обратный код — заменить его содержимое на противоположное),

– а затем прибавить единицу.

Таблица 1.2.Запись числа в дополнительном коде

Правило вычитания двух двоичных чисел:

– Перевести вычитаемое в дополнительный код.

– Сложить эти два числа (уменьшаемое и вычитаемое в дополнительном коде).

– При сложении бит переноса не учитывать.

– Полученный результат – разность.

Например, найдем разность между числами 13 и 5

Запишем в двоичном коде: 13 (00001101), 5 (00000101).

Переведем в дополнительный код вычитаемое: (5 (11111011).

Бит переноса из старшего разряда отбрасываем. Результат: 1000

=8

.

Деление в двоичной системе происходит так же как в десятичной системе счисления.

Правила деления чисел сводятся к сдвигу разрядов числа и вычитанию. Вычитание сводится к сложению чисел, одно из которых представлено в дополнительном коде.

При выполнении действий двоичной арифметики возможны ситуации, приводящие к неточности результата или ошибке. Так, при использовании целочисленного представления возможна ситуация потери старших разрядов результата (в случае превышения разрядов сетки). Еще одна парадоксальная ошибка «целочисленной арифметики» – при использовании знакового формата при сложении или умножении положительных чисел возможно получение результата, неверного по знаку (с единицей в знаковом бите) и модулю (без учета знакового бита). Для форматов с плавающей точкой возможна другая опасность: выход за границу допустимого диапазона значений. Это может произойти, если порядок результата оказывается больше максимального возможного значения. Обычно в такой ситуации выполнение программы прерывается по ошибке – «арифметическое переполнение». Схожая ситуация, когда результат меньше минимально возможного приведет к исчезновению числа (превращению в нуль, что опасно, например, при делении).

Булевы функции. Сложение по модулю два

Говоря об арифметических операциях с двоичными числами нельзя не сказать о логических операциях с ними. В XIX веке английский математик Джордж Буль разработал основные положения алгебры логики, ныне используемые для формального описания узлов ЭВМ. В алгебре логики (булевой алгебре) различают двоичные переменные и булевы функции.

Двоичные переменные могут принимать два значения: 0 и 1. Они обозначаются символами x

, x