y = f (x) => X=t, Y=f (t) Обратное преобразование от параметрического к явному не всегда возможно. В целом, как уже было сказано, построение графика такой функции не несет в себе принципиально иного подхода. Немного изменятся лишь функции конвертации значений из обычной системы в экранную. Как видим в формуле для X (преобразование по оси Y не претерпело изменений), величины A и B заменены на Xmin и Xmax соответственно. Выбор N График может занимать маленькую часть на экране монитора или весь экран, но в любом случае мы хотим чтобы он был гладким и приятным для восприятия. Возникает вопрос: сколько требуется точек, чтобы график выглядел хорошо? Вообще число точек должно быть пропорционально длине графика. Исходя из этого, можно предложить следующий метод. Изначально мы берем довольно много точек в обычной системе координат, например, 10000. Далее конвертируем эти точки в экранную систему, а затем формируем новую коллекцию точек по следующему алгоритму – добавляем первую точку, а следующую точку добавляем с условием, что она отстает от предыдущей не менее, чем на 4 (например) пикселя. Получившуюся коллекцию соединяем линией. При таком подходе мы обеспечиваем приемлемый вид графика вне зависимости от того, сколько места он занимает на экране. Оптимизация построения Следуя вышеизложенному алгоритму, можно построить график, где точки, по которым мы его строим, следуют друг за другом с равномерным шагом. Однако часто такой подход не является оптимальным с точки зрения производительности. Например, известно, что в окрестности нуля функции y=sin (x) и y=x ведут себя почти одинаково. То есть синус очень похож на прямую, а прямую можно построить всего по двум точкам. Идея оптимизации состоит в том, чтобы там, где график близок к прямой, можно удалить лишние точки без потери качества. Далее мы разберем простой алгоритм, который на основе кривизны графика сможет уменьшать количество точек для построения. Пусть точки p1 и p2 уже принадлежат списку точек, по которым строится график в экранной системе координат. Точку p3 включаем в этот список, только если ее отклонение от прямой, задаваемой точками p1 и p2, больше некоторой величины d. рис. 1.7 Определить расстояние от точки p3 (x3, y3) до прямой определяемой точками p1 (x1, y1) и p2 (x2, y2) можно по следующей формуле: Такая простая модификация алгоритма построения позволяет уменьшить количество точек без потери качества отображения. Мы используем участки графика, где он близок к прямой, и на этих участках удаляем избыточные для построения точки. На рисунке 1.8 мы видим график, построенный с равномерным шагом (без оптимизации). рис. 1.8 Число точек здесь равно 134. Сами точки отмечены квадратиками. Ниже представлен график той же функции, но к которому была применена вышеописанная процедура. График нисколько не потерял в качестве, а между тем число точек сократилось до 47. рис. 1.9 Графики разрывных функций Формулы, конвертирующие координаты точки из обычной системы координат в компьютерную, содержат минимальное и максимальное значения, которые достигает функция на отрезке. Для непрерывных функций эти величины обязательно существуют. Для разрывных функций это выполняется не всегда. По причине того, что минимум и максимум для разрывных функций могут не достигаться, использовать формулы, приведенные выше, нельзя. Существует несколько типов разрывов функций. В данном разделе мы рассмотрим вариант построения графика разрывной функции с разрывом типа «скачок через бесконечность». Такой разрыв называется разрывом второго рода. Например, функция y=1/x на отрезке [-1, 1] как раз претерпевает такой разрыв в точке 0. Чтобы научиться строить графики функций, имеющих разрыв, давайте попробуем понять поведение функции в окрестности точки разрыва. Как видно из рисунка ниже, при приближении к точке разрыва начинается быстрый рост приращения функции, при этом шаг по X остается фиксированным: y2 – y1 1, то точка удаляется от начала координат, если 0 <с <1, то приближается. Если же с <0, то происходит зеркальное отражение точки относительно начала координат. С помощью масштабирования можно управлять размером модели, увеличивая или уменьшая его. Параллельный перенос Матрица, соответствующая параллельному переносу точки на вектор с координатами (a, b, c), имеет вид: Для вращения и масштабирования можно было бы использовать матрицы порядка 3x3, но параллельный перенос уже не может быть описан как матричное преобразование в пространстве этой размерности – для этого требуются матрицы размерности на единицу больше. Использование матриц 4x4, прежде всего, дает нам возможность унифицировать подход к преобразованиям в пространстве – все трансформации модели всегда сводятся к умножению матрицы на вектор. Сами по себе матричные преобразования просты и во многих прикладных библиотеках хорошо оптимизированы. Чтобы иметь возможность умножать матрицу 4x4 на трехмерный вектор, к вектору добавляют формальную четвертую координату w, равную 1: (x, y, z) -> (x, y, z, 1). Поскольку наши рассуждения привязаны к конкретному языку программирования, то отметим, что в среде NET уже реализован необходимый функционал для работы с объектами в трехмерном пространстве. В частности, пространство имен System.Numerics содержит матрицы и векторы различных размерностей, а также разнообразные методы для работы с ними. Листинг ниже демонстрирует поворот точки с координатами (1, 0, 2) на угол в 90 градусов. В результате мы получаем точку с координатами (1, -2, 0). Перспективные преобразования Перспективные преобразования обеспечивают отображение пространственных моделей на какой-либо поверхности в соответствии с теми, кажущимися сокращениями их размеров, изменениями очертаний и форм, которые наблюдаются в природе. Использование перспективных преобразований делает отображение моделей на экране более реалистичным. Близкие объекты кажутся большими, а далекие маленькими, дорога сужается к горизонту и т. п (рис. 2.2). рис. 2.2 Смысл перспективных преобразований представлен на рисунках ниже. Пусть нам необходимо отобразить на экране треугольник ABC. Если проекция не используется (рис. 2.3), то берутся обычные ортогональные проекции точек этого треугольника на плоскость проектирования (как правило, это плоскость Z=0), рис. 2.3 При использовании проекции (рис. 2.4), образ точки на плоскость проектирования получается как точка пересечения луча, выходящего из центра проекции, проходящего через исходную точку и плоскости проекции. рис. 2.4 Если мы отображаем точку (x, y, z) без использования проективных преобразований, то, по сути, мы просто игнорируем третью координату. При использовании перспективы координата z будет влиять на координаты x и y. Существует несколько типов проекций. Рассмотрим одноточечную проекцию как пример наиболее простого перспективного преобразования. Нашей задачей будет вычислить новые координаты точки для отображения с учетом перспективы. Для примера рассмотрим плоскость XOZ и вычислим координату X с учетом перспективного преобразования. рис. 2.5 Воспользовавшись подобием треугольников (Zc, Prx, 0) и (Zc, P, Pz) и выразив значение для Prx, получаем: Аналогичные рассуждения можно провести и в плоскости YOZ. Таким образом, если центр проекции находится в точке (0, 0, -Zc), то новые координаты точки с учетом перспективного преобразования можно вычислить по формуле ниже. x’, y’ – координаты точки с учетом перспективы; x, y, z – исходные координаты точки. При одноточечной проекции учитывается только Z-координата. При удалении точки по оси Z от центра проекции его координаты по X и Y будут стремиться к нулю. Перспективные преобразования, в отличии от, например, вращения и масштабирования, являются мнимыми, они не влияют на форму и положение предметов, а являются лишь кажущимися. Это означает, например, что если к 3D-модели перед отображением были применены перспективные преобразования, то после отображения они должны быть отменены. Посмотрите, как выглядит цифровая модель куба в приложении Advanced3DModels (см. дополнительные материалы) с применением одноточечной проекции: рис. 2.6 Полигональные модели Полигональное моделирование – это разновидность трехмерного моделирования. Модель при этом задается набором точек. Если три точки заданы в качестве вершин и соединены ребрами, то они формируют треугольник (полигон), который имеет цвет или текстуру. Совокупность таких треугольников позволяет смоделировать практически любой объект. Недостаток полигонального моделирования состоит в том, что сами треугольники должны иметь очень маленький размер, иначе объект будет иметь огранённый вид. Это означает, что если для модели на сцене предполагается увеличение, ее необходимо моделировать с большим количеством полигонов, даже несмотря на то, что большинство из них будут лишними при удалении от объекта. Тем не менее, для простого моделирования такой подход считается вполне приемлемым. Реалистичное освещение полигональных моделей В этой части нашего повествования мы разберем способы, позволяющие моделировать освещение трехмерного объекта. Сначала давайте разберем особенности восприятия мира посредством органов зрения. Человек, по сути, видит мир плоским. Сетчатка глаза плоская, а, следовательно, и само изображение, спроецированное на сетчатку, тоже является плоским. Тем не менее, мы воспринимаем мир вокруг себя как объемный, имеющий глубину. Это достигается за счет того, что мозг подвергает плоскую картинку «цифровой» обработке, благодаря которой человек способен видеть объем и форму. На процесс формирования объемного изображения также большое значение оказывает тот факт, что человек имеет два глаза. Из разности изображений, мозг извлекает дополнительную информацию об объеме. Но самую большую информацию о форме объекта человек получает из игры света и тени, а также за счет бликов на его поверхности. Таким образом, реалистичное освещение модели является очень важной частью трехмерного моделирования. Для полигональных моделей освещение сводится к освещению совокупности треугольников из которых состоит модель. Достаточно уметь освещать один треугольник в зависимости от его положения в пространстве и положения источников света, чтобы суметь осветить всю модель. Распространение света в реальном мире – это чрезвычайно сложное явление, зависящее от слишком многих факторов, и располагая ограниченными вычислительными ресурсами, мы не можем себе позволить учитывать в расчетах все нюансы. Поэтому методы освещения, которые мы будем описывать, основаны на использовании приближенных к реальности, упрощенных математических моделей, которые дают хороший визуальный эффект, но при этом рассчитываются гораздо проще. Прежде, чем начать изучение методов освещения, кратко коснемся самих источников света. Все источники света разделим на два типа: прожекторы и точечные источники. Прожектором называется источник света, лучи которого параллельны друг другу. Точечный источник – это источник света, который испускает световые лучи во все стороны. рис. 2.7 Лучи-прожекторы параллельны друг другу (рис. 2.7) рис. 2.8 Точечный источник излучает свет во все стороны (рис. 2.8) С точки зрения освещения для нас будет важно, что все лучи от прожектора падают на поверхность под одним и тем же углом. У точечного источника каждый луч падает на поверхность под своим углом. рис. 2.9 Модель Фонга Одной из наиболее часто используемых моделей освещения является модель освещения Фонга. Она состоит из трех составляющих: фоновой (ambient, англ.), диффузной (diffuse, англ.) и зеркальной (specular, англ.). Цвет в конкретной выбранной точке треугольника зависит от этих трех составляющих освещения. Далее разберем каждую составляющую в отдельности.
