Джеймс Девис "Решаем задачи Python"

13. Задача о максимальной подпоследовательности: Найти наибольшую невозрастающую подпоследовательность в списке чисел.

Для решения задачи о поиске наибольшей невозрастающей подпоследовательности в списке чисел мы можем воспользоваться динамическим программированием.

Вот примерный алгоритм решения:

1. Создаем список длиной равной исходному списку чисел, заполненный единицами. Этот список будет содержать длины наибольших невозрастающих подпоследовательностей, заканчивающихся в каждом элементе исходного списка.

2. Проходим по каждому элементу исходного списка и сравниваем его со всеми предыдущими элементами.

3. Если текущий элемент больше или равен предыдущему, длина наибольшей невозрастающей подпоследовательности, заканчивающейся в текущем элементе, будет равна максимальной длине подпоследовательности, заканчивающейся в предыдущем элементе, плюс 1.

4. В конце алгоритма находим максимальное значение в списке длин и восстанавливаем саму подпоследовательность.

Пример кода на Python:

```python

def find_max_non_increasing_subsequence(nums):

n = len(nums)

# Создаем список для хранения длин наибольших невозрастающих подпоследовательностей

lengths = [1] * n

# Заполняем список длин

for i in range(1, n):

for j in range(i):

if nums[i] <= nums[j]:

lengths[i] = max(lengths[i], lengths[j] + 1)

# Находим максимальную длину подпоследовательности

max_length = max(lengths)

# Восстанавливаем саму подпоследовательность

subsequence = []

last_index = lengths.index(max_length)

subsequence.append(nums[last_index])

for i in range(last_index – 1, -1, -1):

if nums[i] >= nums[last_index] and lengths[i] == max_length – 1:

subsequence.append(nums[i])

max_length -= 1

last_index = i

return subsequence[::-1] # Возвращаем подпоследовательность в обратном порядке

# Пример использования

nums = [5, 3, 8, 2, 9, 1, 6]

result = find_max_non_increasing_subsequence(nums)

print("Наибольшая невозрастающая подпоследовательность:", result)

```

Этот код найдет и выведет наибольшую невозрастающую подпоследовательность в списке чисел `[5, 3, 8, 2, 9, 1, 6]`.

Пояснения к коду:

1. Определение функции `find_max_non_increasing_subsequence`:

– Эта функция принимает список чисел `nums` и возвращает наибольшую невозрастающую подпоследовательность этого списка.

2. Создание списка длин подпоследовательностей:

– В начале функции создается список `lengths` длиной, равной длине исходного списка `nums`, заполненный единицами. Этот список будет содержать длины наибольших невозрастающих подпоследовательностей, заканчивающихся в каждом элементе исходного списка.

3. Заполнение списка длин:

– Далее происходит двойной цикл, где для каждого элемента `nums[i]` проверяется, какой максимальной длины может быть наибольшая невозрастающая подпоследовательность, заканчивающаяся в этом элементе. Это делается путем сравнения элемента `nums[i]` с каждым предыдущим элементом `nums[j]` (где `j < i`). Если `nums[i]` больше или равен `nums[j]`, то длина подпоследовательности, заканчивающейся в `nums[i]`, увеличивается на 1.

4. Нахождение максимальной длины:

– После заполнения списка `lengths` находим максимальное значение в этом списке, которое будет длиной наибольшей невозрастающей подпоследовательности.

5. Восстановление подпоследовательности:

– Для восстановления самой подпоследовательности начиная с элемента с максимальной длиной, мы просматриваем элементы списка в обратном порядке, начиная с конечного элемента с максимальной длиной. Мы добавляем элемент в подпоследовательность, если он больше или равен предыдущему элементу и длина подпоследовательности, заканчивающейся в этом элементе, на 1 меньше текущей максимальной длины. Это позволяет нам найти и восстановить исходную подпоследовательность.

6. Возвращение результатов:

– Возвращаем найденную подпоследовательность, которая является наибольшей невозрастающей подпоследовательностью исходного списка `nums`.

14. Задача поиска наибольшей невозрастающей подпоследовательности в массиве чисел, но с ограничением на разницу между элементами этой подпоследовательности.

Например, нам нужно найти наибольшую невозрастающую подпоследовательность, где разница между соседними элементами не превышает заданное число `k`.

Мы можем использовать модифицированный подход динамического программирования для решения этой задачи. Примерный алгоритм:

1. Создаем список длиной равной длине исходного массива чисел, заполненный единицами. Этот список будет содержать длины наибольших невозрастающих подпоследовательностей, заканчивающихся в каждом элементе исходного массива.

2. Проходим по каждому элементу исходного массива и сравниваем его со всеми предыдущими элементами.

3. Если разница между текущим элементом и предыдущим не превышает `k`, то длина наибольшей невозрастающей подпоследовательности, заканчивающейся в текущем элементе, будет равна максимальной длине подпоследовательности, заканчивающейся в предыдущем элементе, плюс 1.

4. В конце алгоритма находим максимальное значение в списке длин и восстанавливаем саму подпоследовательность.

Давайте реализуем этот алгоритм на Python:

```python

def find_max_non_increasing_subsequence_with_limit(nums, k):

n = len(nums)

# Создаем список для хранения длин наибольших невозрастающих подпоследовательностей

lengths = [1] * n

# Заполняем список длин

for i in range(1, n):

for j in range(i):

if nums[i] <= nums[j] and nums[j] – nums[i] <= k:

lengths[i] = max(lengths[i], lengths[j] + 1)

# Находим максимальную длину подпоследовательности

max_length = max(lengths)

# Восстанавливаем саму подпоследовательность

subsequence = []

last_index = lengths.index(max_length)

subsequence.append(nums[last_index])

for i in range(last_index – 1, -1, -1):

if nums[last_index] – nums[i] <= k and lengths[i] == max_length – 1:

subsequence.append(nums[i])

max_length -= 1

last_index = i

return subsequence[::-1] # Возвращаем подпоследовательность в обратном порядке

# Пример использования

nums = [5, 3, 8, 2, 9, 1, 6]

k = 3

result = find_max_non_increasing_subsequence_with_limit(nums, k)

print("Наибольшая невозрастающая подпоследовательность с разницей не более", k, ":", result)

```

Этот код найдет и выведет наибольшую невозрастающую подпоследовательность в списке чисел `[5, 3, 8, 2, 9, 1, 6]`, где разница между соседними элементами не превышает 3.

Работа с текстом и данными

Пояснения к коду:

1. Определение функции `find_max_non_increasing_subsequence_with_limit`:

– Эта функция принимает список чисел `nums` и число `k`, которое ограничивает разницу между соседними элементами подпоследовательности. Она возвращает наибольшую невозрастающую подпоследовательность с разницей между соседними элементами не более `k`.

2. Создание списка длин подпоследовательностей:

– В начале функции создается список `lengths` длиной, равной длине исходного списка `nums`, заполненный единицами. Этот список будет содержать длины наибольших невозрастающих подпоследовательностей, заканчивающихся в каждом элементе исходного списка.

3. Заполнение списка длин:

– Далее происходит двойной цикл, где для каждого элемента `nums[i]` проверяется, какой максимальной длины может быть наибольшая невозрастающая подпоследовательность, заканчивающаяся в этом элементе и удовлетворяющая ограничению на разницу между соседними элементами. Это делается путем сравнения элемента `nums[i]` с каждым предыдущим элементом `nums[j]` (где `j < i`). Если разница между `nums[i]` и `nums[j]` не превышает `k`, и `nums[i]` меньше или равен `nums[j]`, то длина подпоследовательности, заканчивающейся в `nums[i]`, увеличивается на 1.

4. Нахождение максимальной длины:

– После заполнения списка `lengths` находим максимальное значение в этом списке, которое будет длиной наибольшей невозрастающей подпоследовательности с ограничением на разницу между соседними элементами.

5. Восстановление подпоследовательности: