Рисунок 3.2: Фалес. 624–546 гг. до н.э.
Кроме того, надо обязательно отметить и такой факт. В Египте и Месопотамии математика развивалась крайне медленно. Годами, да что там годами, столетиями, в математике ничего не происходило.
Чтобы изобрести цифру 0 (даже еще не число, а только лишь цифру обозначающую пропущенный разряд) у древних вавилонян ушло более тысячи лет! Свитки переписывались без изменений. А ведь это были учебники. И новые писцы учились по учебникам 1000-летней давности.
/*Сейчас в высших учебных заведениях России есть стандарт. Все учебники гуманитарных дисциплин должны быть не старше 5 лет. Вся учебная база естественно-научных дисциплин – не старше 10. Нельзя учиться по старым изданиям задачника Демидовича, нужно обязательно брать новые. В связи с этим в университете, где я работала, был забавный казус на факультете теологии. Весь "Ветхий завет" в библиотеке устарел! И включать его в учебную программу было нельзя.
Обратите внимание, что как нельзя использовать учебники старые, так нельзя использовать и слишком новые. Используемый учебник обязательно уже должен быть выпущен и одобрен УМО. Конечно же, я при написании этой книги, подобными ограничениями не руководствовалась – и поэтому с легкостью вам рекомендую к прочтению еще не дописанную и не выпущенную книжку [64].*/
А в Греции на протяжении примерно 300 лет с момента возникновения математики развитие ее идет взрывообразно. Очень быстро. В 6 веке до н.э. она появляется. А в 3 веке до н.э. уже Евклид пишет свои "Начала" – библию всех математиков, венец творения древних греков. В которой собрано безумное количество задач, теорем, алгоритмов по самым разным темам (мы на «Начала» посмотрим более пристально в главе 6). В этих самых «Началах» многие задачки очень нетривиальные! Математика от несуществования до очень высокого уровня, с доказательствами достаточной степени строгости, со многими приемами и методами, используемыми до сих пор, развилась в Древней Греции за 300 лет.
Как говорил про это Платон: "Все, что эллины переняли у варваров, они довели до совершенства".
Почему так? Почему именно тогда? В 6 веке до н.э. в греческих городах-государствах происходит смена власти с рабовладельческой аристократии на рабовладельческую же, но демократию. Все граждане государства могли принимать участие в управлении государством (ясное дело, никаких иноземцев, женщин и рабов – они гражданами не были; но право голоса появилось у всех граждан). Главный принцип демократии: каждый должен отстаивать, аргументировать, доказывать свою точку зрения. Никакие суждения без доказательства не могли пройти сквозь голосование. Греки учатся критическому мышлению, и помогает им в этом демократия. А как апофеоз критического мышления возникает математика.
Отцом математики считается Фалес Милетский. Фалес Милетский – древнегреческий мыслитель. Как был в Античности список Семи величайших Чудес Света, так был и список Семи Мудрецов. Хотя этот список и считался эталонным, каждый раз он был немножко разный, в зависимости от того, кто его озвучивал. Но в любой реинкарнации такого списка всегда был Фалес. Причем, всегда на первом месте!
Почему Фалес считается отцом математики? Считается, что Фалес первый применил в математике доказательства. Откуда это известно? В V веке нашей эры великий математик Прокл Диадох сочинил очень известный «Комментарий к первой книге "Начал" Евклида». Случилось это примерно 1200 лет спустя после того, как жил Фалес. В этом комментарии написано, что за 900 лет до Прокла (т.е. все равно не при жизни Фалеса) ученик Аристотеля Евдем письменно утверждал, что Фалес доказал следующие факты:
Первый доказал, что диаметр делит круг на равные части.
Доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника.
Равенство треугольников по стороне и двум углам.
Текст Евдема до нас не дошел, и сами доказательства до нас не дошли (мы не имеем никакого понятия о том, какие они были), но раз так утверждается в письменном источнике Проклом (который, предположительно, видел-таки письменный источник, написанный Евдемом, у которого тоже были какие-то основания для подобного заявления) – то вот считается вот так.
Не надо воспринимать историю математики как математику. Тут почти не бывает (и в определенной степени не может быть) строгих доказательств исторических фактов.
/*По поводу исторических доказательств в истории математики сохранился также еще один анекдот. Андрей Николаевич Колмогоров, один из великих математиков 20 века, сначала хотел быть историком. И как-то раз, выступая на научном семинаре сделал доклад, полностью обосновав и доказав свою точку зрения. Руководитель семинара Колмогорова очень хвалил, но сказал, что для достоверности каждый исторический факт должен быть подтвержден несколькими разными доказательствами. Так и закончилась карьера Колмогорова-историка: он решил уйти в науку, где для доказательства истинности одного доказательства достаточно!*/
Фалес был великим мыслителем, и прославился не только математическими открытиями. Кроме вышеперечисленных фактов он доказал, что вертикальные углы равны и в каком-то виде знаменитую теорему Фалеса – скорее всего только прямую; первый описал круг вокруг прямоугольного треугольника и скорее всего, первый же доказал, что угол, опирающийся на диаметр – прямой.
Кроме математических результатов, Фалес известен также своими астрономическими открытиями. Наиболее яркое из них – он предсказал солнечное затмение в 585 году до н.э.; указал морякам, что ориентироваться надо по Малой Медведице, как делали это вавилоняне, а не по Большой (как вслед за египтянами было принято у греков). А кроме того, Фалес был удачливым торговцем, торгуя оливковым маслом, он сколотил состояние.
В путешествиях Фалес познакомился как с египетской наукой (которая, кстати, была довольно известна в Древней Греции), так и с вавилонянской (вот с преемственностью от вавилонян у греков было хуже – они почему-то очень точечно получили от них знания). От одних он знал одну форумлу площади круга , от других – другую 3r
. Так где же истина и кто же прав? Как отличить правильные знания от приближенных и ошибочных? С помощью логики и доказательств. Именно поэтому Фалес передоказывает "азбучные истины", факты и так всем хорошо известные (например, то, что диаметр делит круг на две равные части).
Вот так вот появляется математика. И все это, конечно, хорошо и замечательно. Но. Но Фалес – ученый и торговец. Он доказывает теоремы и торгует оливковым маслом. На самом деле, при всем уважении, но его труды никак не могли способствовать тому, что математика в Древней Греции мало того, что взрывообразно развивается, но еще и становится царицей наук и практически возводится в ранг религии. А вот за это все ответственен Пифагор.
3.2
Самосский тоннель
Тут мне бы очень хотелось упомянуть, что в прикладную математику древние греки тоже умели.
В середине 6 века до н.э. (приблизительно в 530 году до н.э.) Евпалин построил водопровод на острове Самос. Примечательность состоит в том, что водопровод строили сквозь гору Кастро, копая одновременно с двух сторон. А самое примечательное в точности наведения: благодаря ловким геометрическим рассчетам, проведенным Евпалином, расхождение по горизонтали (в точке схода двух кусков тоннеля) не более метра. Расхождение по вертикали и вовсе 4 сантиметра! Длина тоннеля при этом больше километра.
Когда за 100 лет до этого подобный тоннель строили возле Иерусалима, он получился зигзагообразным и длина тоннеля в два раза превышает расстояние между его концами.
С античных времен этот тоннель был забыт. Но в трудах Геродота был составлен список "Чудес света". Это самый первый в мире (известный сегодня) список чудес света, Геродот туда включил всего три объекта, среди которых этот самый Самосский тоннель. Прочитав о тоннеле в трудах Геродота, тоннель принялись искать – и нашли, раскопали в 1882 году. С тех пор это туристическая достопримечательность.
Лекция 4
.
Пифагор
"Пифагор… является в интеллектуальном отношении одним из наиболее значительных людей, когда-либо живших на земле… я не знаю другого человека, который был бы столь же влиятельным в области мышления, как Пифагор." Бертран Рассел.
Пифагор – фигура полумифическая, полулегендарная. Конечно, мы уже сто раз говорили, что началось "историческое время" и есть куча письменных источников о Пифагоре, написанных его современниками и недавними потомками. Позже мы будем говорить про Платона – все (!) его труды сохранились. Поэтому мы можем многое узнать о его взглядах, об укладе его жизни и т.д. А вот жизнь Пифагора… тут сложно отделить легенды от достоверной истины. Во-первых, сам Пифагор никогда ничего не писал. Писали его ученики (но их записи о Пифагоре до нас не дошли). Первые исследования жизни Пифагора появляются примерно через 200 лет после его смерти.
А подробнее всего его жизнь и воззрения описали неопифагорейцы, 700-800 лет спустя. Неопифагорейцы хотели на основе учений Пифагора и Платона создать новую религию, которая должна была противостоять набирающему обороты христианству. Но в работах пифагорейцев о жизни Пифагора рассказано много чудес. Например, о нем писалось, что дикие животные и хищные птицы сами приближались к нему и позволяли себя гладить. Что однажды Пифагор сказал реке Сирис: "Здравствуй, Сирис!". И все слышали, как река Пифагору ответила: "Здравствуй, Пифагор!" И прочие рассказы, подчеркивающие исключительность Пифагора, избранность. В чем-то напоминающие рассказы о жизни Христа.
/*Надо написать рассказ (а то и роман. Или цикл романов) в жанре альтернативной истории, где в битве за основную европейскую религию победило не христианство, подарившее Европе Темные века, а неопифагоризм.*/
Рисунок 4.1: Пифагор. ок.570 – ок.490 гг. до н.э.
Поэтому надо понимать, что про Пифагора – это все из области сказок и легенд.
Всем известно, что рождение Пифагора предсказала пифия в Дельфах, сказав, что он принесет столько пользы людям, как никто иной. Именно поэтому его родители так и назвали ("предсказанный пифией").
Внешность Пифагора описывали так: красивый высокий мужчина в восточном тюрбане.
В детстве Пифагор жил на острове Самос, но в молодости начал много путешествовать и встречаться с мудрецами того времени. В юном возрасте поехал в Египет, перенимать тамошнюю премудрость. Греки вообще, как уже упоминалось, считали Египет колыбелью науки. Чтобы в Египте ему писцы рассказали секретную науку, самосский тиран Поликрат дал Пифагору личную рекомендацию к фараону Амасису. Из Египта Пифагор попал в плен к персам. Попав в плен, Пифагор так шикарно себя зарекомендовал, что ему разрешили изучать математику и астрономию у местных жрецов. В итоге за его великий и непревзойденный ум, персы его освободили из плена (по другой версии, знатный грек увидел его в плену и выкупил; по третьей версии, его вообще никто в плен не брал, а он там был просто в обычной тур.поездке).
Все путешествия Пифагора заняли лет 20. По возвращении на свой родной Самос он довольно быстро поссорился с вышеупомянутым тираном Поликратом, и был вынужден эмигрировать в другой греческий город Кротон (который находится на территории современной Италии, на берегу Ионического моря). В Кротоне Пифагор прожил 40 лет. И именно там основал свою Школу.
С Поликратом он поссорился по вполне понятной причине. Он начал активно заниматься политикой. И выступал он за аристократию, однако же не за аристократию крови, а за аристократию интеллектуальную. Он считал, что люди умные и образованные должны править остальными, должны быть высшей кастой. Конечно же, Поликрату, потомственному тирану, это не могло понравиться. Впрочем, именно за эту же его активную политическую позицию 40 лет спустя разгромили его Школу в Кротоне, откуда ему тоже срочно пришлось убегать.
Что Пифагору не нравилось в древней восточной математике? Во-первых, Не было доказательств. Формулы были, и почему-то они соответствовали практике. Но почему? Никого это не волновало. В некотором смысле, можно считать, что прикладная математика уже была, а чистой еще не было. Во-вторых, поэтому не было никакой мотивации изучать, а тем более "двигать" математику. В-третьих, не было никакой системы математического образования. Хочешь изучать математику – иди в жрецы. Поэтому Пифагор решил основать свою Школу.
Итак, основывая свою Школу, Пифагор тем самым решает третью проблему – проблему отсутствия математического образования. Хотя надо сказать, что на деле в школе изучалась далеко не одна только математика (а, например, еще и "основы праведной жизни"), но даже в математику включались такие 4 основные раздела: учение о фигурах и измерениях (геометрия), учение о числах (арифметика), теория музыки (гармония) и астрономия (астрология).
Рисунок 4.2: Федор Бронников. Гимн пифагорейцев восходящему солнцу
А зачем же изучать математику (т.е. какая же у нас мотивация)? Пифагор во многом, не просто учитель – он пророк. Если Будда (живший, кстати, примерно в одно с ним время) считал, что человек входит в нирвану через внутренний покой и ничего неделание, то Пифагор призывал к чисто интеллектуальному деянию, сопряженному с интеллектуальным экстазом. А самый высший кайф – думать не о мире реальном, а о мире идеальном. Думать о том, чего в мире нет, думать так, чтобы испытывать восторг от работы мысли. /*Всем же нам, математикам, известен восторг на грани с экстазом от решения трудной задачи, доказательства новой теоремы! Так вот, это и есть цель жизни, смысл жизни по Пифагору.*/ До Пифагора математика была прикладной наукой, ориентированной на решение жизненных задач. После стала наукой об идеальных сущностях, не существующих в реальности.
Конечно, именно Фалес изобрел первым идею, что все нуждается в доказательстве. Но именно Пифагор эту идею возвел в ранг религии и распространил ее среди своих последователей. Без Пифагора математика могла бы так и умереть в зародыше.
Смысл математики как раз в том, чтобы дать человеку (пусть и на время) свободу от реального мира, вывести его из бесконечной цепи смертей и рождений (как и все в те времена, Пифагор верил в переселение душ), сделать человека счастливым.
Рисунок 4.3: Питер Пауль Рубенс. Пифагор проповедует вегетарианство.
Таким образом, Пифагор в первую очередь не ученый, нет, он пророк. Цель его жизни не в том, чтобы познать математику. Цель его жизни в том, чтобы научить людей быть счастливыми (правда, посредством математики).
К сожалению, нам совсем ничего не известно о том, что доказал сам Пифагор. Самое известное математическое открытие, связанное с его именем, теорема Пифагора, скорее всего, была ему известна с доказательством только в случае равнобедренного треугольника. (Хотя формулировка точно была известна в общем). Сама теорема Пифагора была известна в Древнем Китае и Древней Индии намного раньше, чем жил Пифагор. Но от них Пифагор узнать эту теорему не мог (с ними научного общения в те времена не было ни в каком виде). С другой стороны, все ученики школы Пифагора считали своим долгом все свои математические
результаты подписывать именем Пифагора, хотя они тоже к нему никакого отношения не имеют.
Однако, в пифагорейской школе действительно много математических открытий и математических знаний. Например, пифагорейцы умели считать сумму начала натурального ряда и сумму первых нечетных чисел . Знали формулы сокращенного умножения. Что характерно, все арифметические формулы они снабжали геометрическим доказательством.
Число, являющееся суммой всех своих делителей (кроме него самого, конечно), пифагорейцы называли совершенными. Например, 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14. В «Началах» Евклида утверждается, что еще пифагорейцы доказали, что если 1+2+4+…+2
= p, где p – простое число, то 2
p – совершенное число. (И только в 18 веке Эйлер доказал, что других совершенных чисел не бывает! То есть, пифагорейцы уже знали (описали) все совершенные числа).
Похоже, что именно в школе Пифагора совершили открытие иррациональных чисел (а именно, доказали, что число иррациональное).
Активно пифагорейцы изучали и музыку. Например, если уменьшить длину струны или флейты вдвое, то тон ее повысится на одну октаву. Если уменьшить в и в раза, то этому будут соответствовать интервалы квинта и кварта. Вообще, пифагорейцы полагали, что музыку можно просчитать. Что при таких-то параметрах будет звучать благозвучно, а при других нет.
Короче говоря, хотя совершенно неизвестно, что же сделал в математике Пифагор, главное – он сделал математику мейнстримом, хайпом, даже религией. Благодаря Пифагору, все образованные греки мечтали заниматься математикой, а все состоятельные греки мечтали, чтобы хотя бы их дети познали эту прекрасную науку.
После разгрома Школы, Пифагор скрылся. Опять же, достоверно ничего не известно, некоторые утверждают, что он сгорел в пожаре вместе со школой. Другие – что удалился на покой и счастливо прожил еще лет 10-15 в кругу семьи. Но пифагорейцы после разгрома точно расселились по всему греческому миру. И стали нести учение Пифагора и веру в математику повсюду.
Лекция 5.
Платон
Вообще говоря, Платон-то математиком не был. Любой экскурс в историю математики мог бы прекрасно обойтись без Платона. Почему же в этой книжке, такой короткой, без Платона-таки не обошлось?
Платон – в философском плане последователь Пифагора с одной стороны. А с другой стороны, он идеи Пифагора во многом завершил, оформил, и именно четкий след Платона прослеживается позже в том, что говорили Декарт, Спиноза и многие другие философы; да и вообще во всей истории объективного идеализма Платон нехило так наследил, раскидав то тут, то там отсылки в математику.
/*Когда я училась в универе, наш препод философии рассказывал нам, что в зависимости от ответа на главный вопрос философии (что первично, материя или идея?) все мыслители всех времен всегда делились на две большие категории. Материалисты и идеалисты (а идеалисты в свою очередь на объективных и субъективных). Дальше он нам доказывал, и очень убедительно (с его точки зрения, разумеется, мы же математики, для нас слова "убедительно" и "философ" не могут стоять в одном утвердительном предложении), что материализм – это правильно и нормально; а идеалисты, которые субъективные – они просто сумасшедшие, а те, которые объективные – религиозные фанатики (читай: тоже не очень-то здоровы психически), потому что объективный идеализм ни что иное как религия. Ну, так вот. Математика (с некоторой точки зрения) – это типичный пример объективного идеализма. (И это очень хорошо показано в философии Платона). В математике идея всегда идет вперед ее материального воплощения. Поэтому с философской точки зрения иначе как религией математику назвать вообще никак нельзя.
Ну, а мы, математики, все сплошь как один получаемся религиозные фанатики. */
Рисунок 5.1: Платон. примерно 428 – примерно 348 гг. до н.э.
Но основа моего рассказа – не история математики, как таковая, а скорее попытка проследить, повлияла ли математика на общечеловеческую культуру и историю. И с точки зрения того, как же математика повлияла на общечеловеческую (хотя бы общеевропейскую) культуру в целом, на философию, на человеческое мышление, разговор никак не может обойти стороной такую глыбу мысли, как Платон. На фреске Рафаэля "Философия" (см. рисунок 3.1 на стр.33) Платон – центральная фигура (что-то объясняющий своему спутнику человек в красном балахоне в самом центре).
Платон родился примерно 70 лет спустя после смерти Пифагора. Пифагор еще не был нереальной легендой, а был довольно близкой историей (как для моих студентов, например, Фихтенгольц, а для меня – ну, предположим, Марков, который изобрел "цепи Маркова" – главный принцип, на котором сейчас работают нейросети и искусственные интеллекты). Пифагорейцы были очень активны и рассеяны по всей Греции. Уезжать в путешествия для получения образования Платон вовсе не хотел, он хотел получить образование в колыбели культуры – в Афинах, в школе Сократа. Но увы и ах, школу Сократа тоже закрыли, Сократ умер, и Платон, чтобы продолжить свое образование, вынужден был путешествовать. Ездил он и в Египет по следам Пифагора, и в Кротон (где была пифагорейская школа), и в африканскую часть Древней Греции, в Сиракузы (где позже появится Архимед). Именно в этом путешествии Платон и научился математике. Однако же, кроме математики, узнал много чего еще. В конце-концов, вернулся в Афины, где основал первое в истории высшее заведение – Академию Платона. Которая просуществовала в итоге больше 900 лет! (закрыта лишь в 529 году нашей эры).
